Уравнение Власова

Уравнение Власова

Уравнение Власова — система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье[1] и позднее излагается в монографии[2].

Содержание

Проблемы газокинетического подхода

В своей работе Власов сначала указывает на неприменимость газокинетического подхода, основанного на уравнении Больцмана (предполагается, что интеграл столкновений зависит только от парных столкновений), к описанию динамики плазмы с кулоновским взаимодействием. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при попытке применения теории основанной на парных столкновений к описанию плазмы:

  1. приближение парных столкновений не согласуется с исследованиями Рэлея и Ленгмюра и Тонкса, которые предсказали и исследовали ленгмюровские волны в электронной газовой плазме.[3][4]
  2. приближение парных столкновений формально не применима к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости полного сечения рассеивания.
  3. приближение парных столкновений не позволяет объяснить эксперименты Меррилла и Вебба об аномальном рассеянии электронов в газовой плазме.[5]

В качестве причины возникновения этих проблем Власов указывает на дальнодействующий характер кулоновских сил, что приводит к взаимодействию каждой из частиц с совокупностью других частиц. Дальнодействие в этом случае означает, что радиус влияния этой силы больше чем среднее расстояние между частицами.

Уравнения Власова — Максвелла

Власов изначально рассматривал систему общих уравнений плазмы, включающих три компоненты (электроны, ионы и нейтральные атомы), и записывал уравнение Больцмана для s-ой компоненты плазмы в виде

\frac{\partial f_s}{\partial t} + \mathrm{div}_{\mathbf{r}}\vec{v} f_s +\frac{e_s}{m_s}\left(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\right)\mathrm{grad}_{\mathbf{v}}f_s = \left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s1}+\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s2}+\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s3}.

где f_s(\vec{r},\vec{p},t) — функция распределения. Эта система уравнений включала также уравнения Максвелла, и уравнения для заряда и тока выраженные через функции распределения f_s. Так как Власов интересовался только волновыми решениями, то он пренебрёг вкладами интегралов столкновений, поскольку по оценкам выходило, что частоты плазменных волн много больше частот парных столкновений частиц в плазме. То есть вместо описания взаимодействия заряженных частиц в плазме посредством столкновений, предложил использовать самосогласованное поле, созданное заряженными частицами плазмы для описания длиннодействующего потенциала. Вместо уравнения Больцмана Власов предлагает использовать следующую систему уравнений для описания заряженных компонент плазмы (электронов с функцией распределений f_e(\vec{r},\vec{p},t) и положительных ионов с функцией распределения f_i(\vec{r},\vec{p},t)):

\frac{\partial f_e}{\partial t} + \vec{v} \frac{\partial f_e}{\partial\vec{x}} - e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\Bigr) \frac{\partial f_e}{\partial\vec{p}} = 0
\frac{\partial f_i}{\partial t} + \vec{v} \frac{\partial f_i}{\partial \vec{x}} + e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\Bigr) \frac{\partial f_i}{\partial \vec{p}} = 0
{\rm rot}\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad {\rm rot}\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
{\rm div}\vec{E}=4\pi\rho,\quad {\rm div}\vec{B}=0
\rho=e\int(f_i-f_e)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_i-f_e)\vec{v}d^3\vec{p}

Здесь e — заряд электрона, c — скорость света, \vec{E}(\vec{r},t) и \vec{B}(\vec{r},t) — самосогласованные электрическое и магнитное поля, созданные в точке \vec{r} в момент времени t всеми заряженными частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле в том, что само самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения ионов и электронов.

Уравнения Власова — Пуассона

Уравнения Власова — Максвелла являются системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Если флуктуации функций распределения относительно равновесного состояния невелики, эта система уравнений может быть линеаризована. Линеаризация даст систему уравнений Власова — Пуассона, описывающую динамику плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Уравнения Власова — Пуассона являются системой уравнений Власова для каждой компоненты плазмы (рассматриваем нерелятивистский предел):

\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{x}} + \frac{q_{\alpha}\vec{E}}{m_{\alpha}} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{v}} = 0,

и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля:

\nabla \cdot \vec{E} = -\Delta\phi = 4 \pi \rho.

Здесь q_{\alpha} — электрический заряд и m_{\alpha} — масса частиц плазмы, \vec{E}(\vec{x},t) — самосогласованное электрическое поле, \phi(\vec{x}, t) — потенциал самосогласованного электрического поля и \rho — плотность электрического заряда.

Примечания

  1. ↑ А. А. Власов. О вибрационных свойствах электронного газа // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1938. — Т. 8 (3). — С. 291.
  2. ↑ А. А. Власов. Теория вибрационных свойств электронного газа и ее приложения // Уч. зап. МГУ. — 1945. — В. 75. Кн. 2. Ч. 1.
  3. ↑ Rayleigh , Phil. Mag. 11, 117 (1906).
  4. ↑ I. Langmuir and L. Τοnks, Phys. Rev 33, 195 (1929).
  5. ↑ H. J. Merrill and H. W. Webb (1939). «Electron Scattering and Plasma Oscillations». Physical Review 55 (12). DOI:10.1103/PhysRev.55.1191. Bibcode: 1939PhRv...55.1191M.

Литература

  • И. П. Базаров, П. Н. Николаев. Анатолий Александрович Власов. — Физический факультет МГУ. — М., 1999. — С. 19—26. — (Выдающиеся учёные физического факультета МГУ). — Подробное обсуждение уравнений Власова.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Уравнение Власова" в других словарях:

  • Власова уравнения — Уравнение Власова  система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учетом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье[1] и позднее излагается в монографии[2] …   Википедия

  • Власова — Пуассона приближение — Уравнение Власова  система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учетом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье[1] и позднее излагается в монографии[2] …   Википедия

  • Уравнение Фоккера — Планка — Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера  Планка. Уравнение Фоккера  Планка  одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… …   Википедия

  • Уравнение движения — (уравнения движения)  уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и… …   Википедия

  • Уравнение Фоккера — Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера  Планка. Уравнение Фоккера  Планка  одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… …   Википедия

  • Уравнение Фоккера-Планка — Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера  Планка. Уравнение Фоккера  Планка  одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в… …   Википедия

  • Уравнение Больцмана — Уравнение Больцмана, известное также как кинетическое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных… …   Википедия

  • Уравнение больцмана — Уравнение Больцмана, известное также как кинетическое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных… …   Википедия

  • Уравнение Боголюбова — Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, ББГКИ иерархия, цепочка уравнений Боголюбова  Борна  Грина  Кирквуда  Ивона)  система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в… …   Википедия

  • ВЛАСОВА УРАВНЕНИЕ — кинетич. ур ние (типа кинетического уравнения Больцмана) для бесстолкновительноц плазмы. (см. ПЛАЗМА). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»