Производная Лагранжа

Производная Лагранжа

Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции \phi(\vec{r},t) координат и времени, так и от векторной \vec{v}(\vec{r},t):

\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi
\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{v}

где \nabla — это оператор набла, а \frac{\partial}{\partial t} обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.

Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:

\frac{D}{Dt}\int\limits_{V(t)} f(\mathbf{x})\, dV = \int\limits_{V(t)} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla\cdot(f\mathbf{u}) \right) \, dV = \int\limits_{V(t)} \left( \frac{Df}{Dt} + f ( \nabla\cdot\mathbf{u} ) \right) \, dV

Доказательство

Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна), можно записать:

\left[\frac{d\mathbf{B}}{dt}\right]_j = \frac{d}{d t} \hat{B_j}(t, x_i(t)) = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial B_j}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x_i} B_j = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \left[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{B}\right]_j

См. также


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи по физике желательно?:
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Производная Лагранжа" в других словарях:

  • Производная (обобщения) — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные …   Википедия

  • Производная (обобщение) — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия

  • Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная&# …   Википедия

  • Список объектов, названных в честь Лагранжа — Существует несколько математических и физических объектов, носящих имя французского математика XVIII века Луи Жозефа Лагранжа: Теоремы Теорема Лагранжа в математическом анализе  см. формула конечных приращений Теорема Лагранжа (теория групп) …   Википедия

  • Односторонняя производная — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия

  • Полная производная функции — Полная производная функции  производная функции по времени вдоль траектории. Расчёт полной производной функции по времени t, (в отличие от частной производной, ) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по… …   Википедия

  • Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия

  • Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро — Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида: Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они… …   Википедия

  • Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… …   Википедия

  • Конвективная производная — от векторной либо скалярной функции в точке в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью ). Является одним из слагаемых производной Лагранжа… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»