Векторное исчисление

Векторное исчисление

Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на

  • векторную алгебру;
  • векторный анализ;
  • функциональный анализ.

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[2].

Содержание

Разделы векторного исчисления

Векторная алгебра

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[4]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[5].

Векторный анализ

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре D\left( M \right). Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[8].

Функциональный анализ

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций y = f\left( x \right), где по крайней мере одна из переменных x,\,y меняется по бесконечному пространству[9].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[10], в теории обработки сигналов[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[12], алгебраической геометрии[13] и т. д.

Примечания

  1. ↑ Иванов А. Б. Векторное исчисление. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 640
  2. ↑ Онищук А. Л. Тензорное исчисление. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 330
  3. ↑ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
  4. ↑ Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
  5. ↑ Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
  6. ↑ Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
  7. ↑ движения энергии в телах (Умов)/I
  8. ↑ Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
  9. ↑ Березанский Ю. М., Левитан Б. М. Функциональный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 705—712
  10. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
  11. ↑ Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
  12. ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
  13. ↑ Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Векторное исчисление" в других словарях:

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются операции над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Напр., суммой векторов a и b… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Векторное исчисление —         математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над Векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и… …   Большая советская энциклопедия

  • векторное исчисление — раздел математики, в котором изучаются операции над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Например, суммой векторов а и b… …   Энциклопедический словарь

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — устаревшее название раздела математики, в к ром изучаются свойства операций над векторами. В. и. подразделяют на векторную алгебру п векторный анализ. В векторной алгебре изучают линейные операции (сложение векторов и умножение векторов на число) …   Математическая энциклопедия

  • векторное исчисление — vektorinis skaičiavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector calculus vok. Vektorrechnung, f rus. векторное исчисление, n pranc. calcul vectoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математи ки, в к ром изучаются операции над векторами. В. и. включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий над векторными величинами. Напр., суммой векторов я и наз. вектор, идущий из… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Векторное поле —         область, в каждой точке Р которой задан вектор а (Р). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор функции a (Р) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и… …   Большая советская энциклопедия

  • Векторное произведение —         вектора а на вектор b вектор, обозначаемый [а, b] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b] равна произведению длин векторов а и b на синус угла φ между ними (берётся тот из двух углов между а и b, который не превосходит π), 2) вектор… …   Большая советская энциклопедия

  • Векторное пространство —         математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторов обычного трёхмерного пространства.          Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на… …   Большая советская энциклопедия

  • Тензорное исчисление —         математическая теория, изучающая величины особого рода тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»