- Внутренний автоморфизм
-
Aвтоморфизм модели — изоморфизм, отображающий модель на себя.
Совокупность всех автоморфизмов некоторой модели с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу.
Группа автоморфизмов модели K обозначается
.- Автоморфизм множества есть перестановка элементов этого множества
- Автоморфизм группы — изоморфизм группы на себя.
Автоморфизм называется внутренним, если существует такой элемент a, что Auth(G)a(x) = axa − 1, а в противном случае внешним. Множество всех внутренних автоморфизмов группы G есть подгруппа группы всех автоморфизмов, причем Auth(G)a * Auth(G)b = Auth(G)ab.[1]
Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли. [2]
Автоморфизмы графов
Наименьшее асимметрическое дерево
Наименьший асимметрический графАвтоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность. [3] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:
Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.[4]
Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.
Для любой конечной группы найдется такой граф, что его группа изоморфна данной. Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли. [5][6]
Примечания
Литература
- Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
- Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
- Ф. Харари Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
Wikimedia Foundation. 2010.
