Уравнения Гамильтона

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

$\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}$

$\dot q_j =~~\frac{\partial H}{\partial p_j}$

где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где $H = H(q,p,t) \equiv H(q_1,q_2,...,q_N, p_1,p_2,...,p_N,t)$ — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, $t$ — время^[1], $q_i$ — (обобщенные) координаты $(q_1, q_2,\dots,q_N)$ , и $p_i$ — обобщенные импульсы $(p_1, p_2, \dots, p_N)$ , определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Содержание

1 Ньютоновский физический смысл
2 Фундаментальная интерпретация
3 Вывод уравнений Гамильтона
- 3.1 Вывод из принципа стационарного действия
- 3.2 Вывод из лагранжевой механики
4 Обобщение посредством скобок Пуассона
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Ньютоновский физический смысл

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан $H~$ представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых $T~$ и $V~$ соответственно:

$H = T + V ,~ T = \frac{p^2}{2m},~ V = V(q) = V(x)$

В частном случае, если q = X — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

$X_1 = x_1,\; X_2 = y_1,\; X_3 = z_1,\ \ X_4 = x_2,\; X_5 = y_2,\; X_6 = z_2,\;\dots$

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

$\dot{\vec P} = - \nabla V$

$\dot{\vec X} = \vec p / m$

где $\vec X = (X_1,X_2,\dots,X_N)$ , причем каждое подпространство дает радиус-вектор соответствующей материальной точки:

$\vec r_1 = (X_1,X_2,X_3),\ \vec r_2 = (X_4,X_5,X_6),\;\dots$

а обобщенные импульсы — соответствующие компоненты трехмерных импульсов этой точки:

$\vec p_1 = (P_1,P_2,P_3),\ \vec p_2 = (P_4,P_5,P_6),\;\dots$

Фундаментальная интерпретация

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) $\omega$ через волновой вектор $\mathbf x$ для каждой точки пространства^[2]:

$\omega = H(\mathbf k,\mathbf x).$

В классическом приближении (при больших^[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от $\mathbf x$ ) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ( $\dot q_i = \partial H/ \partial p_i$ ) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ( $\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i$ ) вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определенного типа.

Вывод уравнений Гамильтона

Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

$S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt$ ,

независимо по $q$ и по $p$ .

Вывод из лагранжевой механики

Мы можем вывести уравнения Гамильтона используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

$\mathrm{d} L = \sum_i \left ( \frac{\partial L}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t$

обобщённые импульсы определяются как $p_i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}}$ , и уравнения Лагранжа гласят: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i$

где $F_i$ — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду $\frac{\partial L}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i$ и результат подставляется в вариацию лагранжиана

$\mathrm{d}L = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

Можно записать:

$\mathrm{d} L = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

и преобразуется к форме:

$\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - L \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

$\mathrm{d} H = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial H}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t$

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими $p~$ и $q~$ . В этом случае, более общая форма уравнений Гамильтона гласит

$\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}$ ,

где $A~$ , называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных $p~$ , $q~$ и $t~$ , и $H~$ — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для $q~$ и $p~$ , он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. также

Примечания

↑ От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.
↑ Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.
↑ Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит конcтанта Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.

Литература

Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 222 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6
Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959

Категории:

Динамические системы
Физические законы и уравнения
Теоретическая механика

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное

Смотреть что такое "Уравнения Гамильтона" в других словарях:

Уравнения Гамильтона — Якоби — В физике и математике, уравнение Гамильтона Якоби Здесь S обозначает классическое действие, классический гамильтониан, qi обобщенные координаты. Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для… … Википедия
Уравнения Гамильтона-Якоби — В физике и математике, уравнение Гамильтона Якоби Здесь S обозначает классическое действие, классический гамильтониан, qi обобщенные координаты. Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для… … Википедия
ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ ТЕОРИЯ — раздел классического вариационного исчисления и аналитич. механики, в к ром задача нахождения экстремалей (или задача интегрирования гамильтоновой системы уравнений) сводится к интегрированию нек рого уравнения с частными производными 1 го… … Математическая энциклопедия
ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ — гамильтониан, функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в… … Математическая энциклопедия
Уравнения движения — Уравнение движения (уравнения движения) уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями… … Википедия
Уравнения Рауса — Уравнения Рауса дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… … Википедия
ГАМИЛЬТОНА УРАВНЕНИЯ — то же, что канонические уравнения механики. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия
Уравнения Навье — Стокса — Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая меха … Википедия
ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ — (по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton)), характеристич. функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщённые координаты qi и обобщённые импульсы рi. Для системы со связями, явно не зависящими от… … Физическая энциклопедия
ГАМИЛЬТОНА УРАВНЕНИЯ — канонические обыкновенные дифференциальные уравнения 1 го порядка, описывающие движения голономных механич. систем под действием приложенных к ним сил, а также экстремали задач классического вариационного исчисления. Г. у., установленные У.… … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Уравнения Гамильтона

Содержание

Ньютоновский физический смысл

Фундаментальная интерпретация