Функциональная производная

В математике и теоретической физике, функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются.

Содержание

1 Определение
2 Вторая вариация
3 Свойства
4 Примеры
- 4.1 Энтропия
- 4.2 Экспонента

Определение

Пусть $F$ — некоторый функционал, то есть функция, определённая на некотором множестве функций. Значение функционала $F$ на функции $\phi$ обозначают $F[\phi]$ . Его производная Гато (производная по направлению) есть предел (если он существует) выражения $\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{F[\phi + \varepsilon \delta \phi] - F[\phi]}{\varepsilon}$ . Здесь $\delta \phi$ — некоторая функция из области определения $F$ . Отметим, что такая производная, вообще говоря, зависит от выбора функции $\delta \phi$ . В этом смысле ситуация вполне аналогичная конечномерной. Например, функция $y=|x|$ дифференцируема в точке $x=0$ справа и слева, но эти односторонние производные различны, а в обычном смысле эта функция в 0 не дифференцируема.

Гораздо чаще в приложениях возникает производная функционала, аналогичная классической конечномерной производной и являющаяся частным случаем производной Гато. Не давая общего определения, рассмотрим типичный пример: поиск экстремума функционала на множестве траекторий, проходящих через две заданные точки. Такая задача возникает при исследовании задач классической механики с помощью принципа наименьшего действия, подобного же типа задача о нахождении фигуры максимальной площади с заданным периметром и т. п.

Пусть функционал $F$ имеет интегральный вид

$F[\phi] = \int_a^b L(\phi, \dot \phi, t)dt$

Его первой вариацией называется выражение

$\delta F = F[\phi + \delta \phi] - F[\phi]$

Если она представима в виде

$\delta F = \int_a^b S(\phi, \dot \phi, t) \delta\phi(t)dt$

с точностью до величин второго порядка по $\delta \phi$ , то функция $S$ называется функциональной производной $F$ по $\phi$ и обозначается $\frac{\delta F}{\delta \phi}$ . Функционал при этом называют дифференцируемым.

Конкретно в данной задаче $\frac{\delta F}{\delta \phi} = \frac{\partial L}{\partial \phi} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}$ , но в общем случае ответ существенно зависит от постановки задачи и граничных условий.

Вторая вариация

Если функционал дифференцируем, то можно определить аналог второй производной (в данном случае он скорее аналогичен матрице вторых частных производных). Раскладывая полную вариацию $\delta F$ до второго порядка по $\delta \phi$ и отбрасывая величины первого порядка, получим выражение, называемое второй вариацией функционала:

$\delta^2 F = \iint \frac{\delta^2 F}{\delta \phi \delta \phi^\prime} \delta \phi(x) \delta \phi^\prime (x^\prime) dx dx^\prime$

Свойства

Функциональная производная по свойствам аналогично обычной. Например:

Линейность. $\frac{\delta}{\delta \phi}(\lambda F + \mu G) = \lambda \frac{\delta F}{\delta \phi} + \mu \frac{\delta G}{\delta \phi},\ \lambda,\mu\in \C$
Тождество Лейбница. $\frac{\delta FG}{\delta \phi} = \frac{\delta F}{\delta \phi} G + F \frac{\delta G}{\delta \phi}$
Разложение полной вариации по частным производным: $\delta F[\phi, \psi] = \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta \phi + \frac{\delta F}{\delta \psi} \delta \psi$
В точке экстремума функционала его производная равна 0. Точка экстремума является точкой минимума (максимума), если вторая вариация — положительно (отрицательно) определённая квадратичная форма.

и так далее.

Примеры

Энтропия

Информационная энтропия дискретной случайной величины это функционал функции вероятности.

$\begin{align} H[p(x)] = -\sum_x p(x) \log p(x) \end{align}$

Поэтому,

$\begin{align} \left\langle \frac{\delta H}{\delta p}, \phi \right\rangle & {} = \sum_x \frac{\delta H[p(x)]}{\delta p(x')} \, \phi(x') \\ & {} = \left. \frac{d}{d\epsilon} H[p(x) + \epsilon\phi(x)] \right|_{\epsilon=0}\\ & {} = -\frac{d}{d\varepsilon} \left. \sum_x [p(x) + \varepsilon\phi(x)] \log [p(x) + \varepsilon\phi(x)] \right|_{\varepsilon=0} \\ & {} = \displaystyle -\sum_x [1+\log p(x)]\phi(x)\\ & {} = \left\langle -[1+\log p(x)], \phi \right\rangle. \end{align}$

Поэтому,

$\frac{\delta H}{\delta p} = -[1+\log p(x)].$

Экспонента

Пусть

$F[\varphi(x)]= e^{\int \varphi(x) g(x)dx}.$

Использую в качестве пробной функции дельта-функцию,

$\begin{align} \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta \varphi(y)} & {} = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon}\\ & {} = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{e^{\int (\varphi(x)+\varepsilon\delta(x-y)) g(x)dx}-e^{\int \varphi(x) g(x)dx}}{\varepsilon}\\ & {} = e^{\int \varphi(x) g(x)dx}\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{e^{\varepsilon \int \delta(x-y) g(x)dx}-1}{\varepsilon}\\ & {} = e^{\int \varphi(x) g(x)dx}\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon}\\ & {} = e^{\int \varphi(x) g(x)dx}g(y). \end{align}$

Поэтому,

$\frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta \varphi(y)} = g(y) F[\varphi(x)].$

Категории:

Функциональный анализ
Математическая физика
Дифференциальные операторы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Функциональная производная" в других словарях:

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — обобщение понятия производной на случай функционалов. Если I(f) непрерывный функционал от нек рой ф ции f(x), а df(x) малая вариация f(x )в окрестности точки х0: f1(x)=f0(x)+df(x), то предел где называется Ф. п. функционала I в точке х0 … Физическая энциклопедия
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — произвoдная Вольтерра, одно из первых понятий производной в бесконечномерном пространстве. Пусть I(у) нек рый функционал от непрерывной функции одного переменного у(х); х0 нек рая внутренняя точка отрезка [х 1, х2]; где вариация отлична от нуля в … Математическая энциклопедия
ВАРИАЦИЯ — термин, введенный в математику Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод В. метод исследования .экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в… … Математическая энциклопедия
ЛАНДАУ - ЛИФШИЦА УРАВНЕНИЕ — макроскопич. ур ние бездиссипативного движения вектора намагниченности ферромагнетика в магн. поле (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1935). Л. Л. у. имеет вид где М (r, t) намагниченность единицы объёма ферромагнетика (ФМ), магнита механическое… … Физическая энциклопедия
Лагранжева механика — Классическая механика … Википедия
Вариация (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация. Вариация (от лат. variation перемена, изменение) термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour… … Википедия
Прогноз — (Forecast) Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования, методы прогнозирования Содержание Содержание Определение Основные понятия прогностики Задачи и принципы прогнозирования… … Энциклопедия инвестора
Медицина — I Медицина Медицина система научных знаний и практической деятельности, целями которой являются укрепление и сохранение здоровья, продление жизни людей, предупреждение и лечение болезней человека. Для выполнения этих задач М. изучает строение и… … Медицинская энциклопедия
Векторное поле — Векторное поле это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… … Википедия
Альтернативные теории гравитации — Альтернативными теориями гравитации принято называть теории гравитации, существующие как альтернативы общей теории относительности (ОТО) или существенно (количественно или принципиально) модифицирующие ее. К альтернативным теориям гравитации… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Функциональная производная

Содержание

Определение

Вторая вариация

Свойства