Задача Каратеодори — Фейера

Задача Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

P(z)=~c_0+~c_1 z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}

многочлен, P\not \equiv 0. Существует единственная рациональная функция

R(z)=R(z,~c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})

вида

R(z)=\lambda {\bar{\alpha}_{n-1}+\bar{\alpha}_{n-2}+\ldots +\bar{\alpha}_{0}z^{n-1} \over \alpha_0+\alpha_1z+\ldots+\alpha_{n-1}z^{n-1}},\ \lambda > 0,

регулярная в \left| z \right| \leqslant 1 и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена n первых коэффициентов, равных соответственно c_0,~c_1, \ldots ,~c_{n-1}. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

M_f = \sup_{\left| z \right| < 1} \left| f(z) \right|

в классе всех регулярных в круге \left| z \right| < 1 функций f(z) вида

f(z)=P(z)+~a_n z^{n}+\ldots,

и указанное наименьшее значение равно

\lambda = \lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1})

Число \lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1}) равно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени

\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-1} \\ 0 & -\lambda & \ldots & 0 & 0 & c_0 & \ldots & c_{n-2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & -\lambda & 0 & 0 & \ldots & c_0 \\ \bar{c_0} & 0 & \ldots & 0 & -\lambda & 0 & \ldots & 0 \\ \bar{c_1} & \bar{c_0} & \ldots & 0 & 0 & -\lambda & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \bar{c}_{n-1} & \bar{c}_{n-2} & \ldots & \bar{c}_0 & 0 & 0 & \ldots & -\lambda \end{vmatrix}

Если c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1} — действительные числа, то \lambda(c_0,~c_1,\ldots ,~c_{n-1}) являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения ~n-й степени

\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & \ldots & 0 & c_0 \\ 0 & -\lambda & \ldots & c_0 & c_1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ c_0 & c_1 & \ldots & c_{n-1} & -\lambda \end{vmatrix} = 0

Литература

  • Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, — 1911, v. 32, p. 218—239.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., — М., 1966.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Задача Каратеодори — Фейера" в других словарях:

  • Задача Каратеодори-Фейера — Теорема Каратеодори  Фейера: Пусть многочлен, . Существует единственная рациональная функция вида регулярная в …   Википедия

  • КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА ЗАДАЧА — задача о продолжимости многочлена от z до степенного ряда, представляющего собой регулярную в круге |z|<1 функцию, реализующую наименьшее значение супремума модуля в круге |z|<1 в классе всех регулярных в |z|<1 функций, к рые имеют… …   Математическая энциклопедия

  • Каратеодори-Фейера задача — Теорема Каратеодори  Фейера: Пусть многочлен, . Существует единственная рациональная функция вида регулярная в …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»