Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компактe, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство для R
3 Замечания
4 Обобщения
- 4.1 Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций
- 4.2 Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте
5 См. также

Формулировка

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть $f:[a,\;b] \to \mathbb{R}$ и $f\in C\bigl( [a,\;b] \bigr).$ Пусть

$M = \sup\limits_{x\in [a,\;b]}f(x),\quad m = \inf\limits_{x\in [a,\;b]} f(x)$

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции $f$ соответственно. Тогда $-\infty &lt; m \leqslant M &lt; \infty$ и существуют $x_m,\;x_M \in [a,\;b]$ такие, что

$f(x_m) = m,\quad f(x_M) = M.$

Доказательство

Доказательство для R

Пусть $f (x)$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$ ), $M = \sup_A f$ . Возьмём последовательность чисел $a m$ таких, что $\lim a_m = M$ и $a m < M$ . Для каждого $m$ найдётся точка $x m$ , такая что $a m < f (x m)$ . Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцана — Вейерштрасса из последовательности $x m$ можно выделить сходящуюся последовательность $\{x_{m_k}\}$ , предел которой лежит в $A$ .

Для любого $x m$ справедливо $a_m &lt; f(x_{m_k}) &lt; M$ , поэтому, применяя предельный переход, получаем $\lim f(x_{m_k}) = M$ и в силу непрерывности функции существует точка $x 0$ такая, что $\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)$ и, следовательно $M = f (x 0)$ .

Таким образом функция $f (x)$ ограничена и достигает своей верхней грани при $x = x 0$ . Аналогично и для нижней грани.

Замечания

По определению точки $x m$ и $x M$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

$\mathrm{tg}:\left(-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right) \to \R$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

Пусть функция $f:[a,\;b] \to \R$ полунепрерывна сверху. Тогда

$M = \sup\limits_{x\in [a,\;b]}f(x) &lt; +\infty$ и $\exists x_M \in [a,\;b] : f(x_M) = M.$

Пусть функция $f:[a,\;b] \to \R$ полунепрерывна снизу. Тогда

$m = \inf\limits_{x\in [a,\;b]}f(x) &gt; -\infty$ и $\exists x_m \in [a,\;b] : f(x_m) = m.$

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство $(X,\;\mathcal{T})$ и компактное подмножество $K \subset X$ . Пусть дана непрерывная функция $f:K \to \R,\; f\in C(K).$ Тогда