Кардано формула

Формула Кардано — формула для нахождения корней кубического уравнения вида

y 3 + p y + q = 0

над полем комплексных чисел.

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

при помощи следующей замены:

$x=y-\frac b{3a}$

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

Формула

Формула Кардано имеет вид:

$y_1=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_2=\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_3=\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

где

$\epsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \Delta=-27q^2-4p^3$

$Δ -$ есть дискриминант многочлена $y 3 + p y + q$ . Применяя эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

$\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

брать то значение корня

$\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},$

для которого выполняется условие $αβ = - p / 3$ (такое значение корня $β$ всегда существует).

Вывод

Формулу можно получить, если предположить что значение корня представляется в виде суммы двух величин $x = α + β$ , тогда, раскрывая скобки, получаем:

α 3 + β 3 + (3αβ + p)(α + β) + q = 0

Основная идея — приравнять нулю выражение $3αβ + p$ . Тогда мы приходим к системе

$\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

которая равносильна системе

$\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней $α 3$ и $β 3$ квадратного уравнения.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Кардано формула" в других словарях:

Кардано формула — формула для нахождения корней кубического уравнения x3 + px + q = 0 (к такому виду может быть приведено всякое кубическое уравнение). К. ф. имеет следующий вид: Всякий кубический корень имеет три… … Большая советская энциклопедия
КАРДАНО ФОРМУЛА — формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел К такому виду может быть приведено любое кубич. уравнение. К. ф. для уравнения (1) имеет вид: Применяя эту формулу, нужно для каждого из трех значений кубич. корня… … Математическая энциклопедия
Формула Кардано — Формула Кардано формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано. Любое кубическое уравнение общего вида при помощи замены… … Википедия
Кардано Джероламо — Кардано (Cardano) Джероламо (Иеронимус) [24.9.1501 (по др. данным, 1506), Павия, ‒ 21.9.1576, Рим], итальянский философ, врач и математик. Разработал космологическую систему («О тонкости вещей», 1550; «Об изменчивости вещей», 1557), близкую др.… … Большая советская энциклопедия
Кардано — (Cardano) Джероламо (Иеронимус) [24.9.1501 (по др. данным, 1506), Павия, 21.9.1576, Рим], итальянский философ, врач и математик. Разработал космологическую систему («О тонкости вещей», 1550; «Об изменчивости вещей», 1557), близкую др.… … Большая советская энциклопедия
Кардано — Кардано, Джероламо Джероламо Кардано итал. Girolamo Cardano Дата рождения … Википедия
Кардано, Джероламо — Джероламо Кардано итал. Gerolamo Cardano … Википедия
Кардано, Джироламо — Джероламо Кардано (1501 1576) Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия 21 сентября 1576, Рим) итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог,… … Википедия
Кардано Д. — Джероламо Кардано (1501 1576) Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия 21 сентября 1576, Рим) итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог,… … Википедия
Кардано Джероламо — Джероламо Кардано (1501 1576) Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия 21 сентября 1576, Рим) итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог,… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Кардано формула

Формула

Полезное

Смотреть что такое "Кардано формула" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Кардано формула

Формула

Полезное

Смотреть что такое "Кардано формула" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: