Класс эквивалентности

Класс эквивалентности

Отношение эквивалентности (\sim) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

  1. Рефлексивность: \,a \sim a для любого a в X,
  2. Симметричность: если \,a \sim b, то \,b \sim a,
  3. Транзитивность: если \,a \sim b и \,b \sim c, то \,a \sim c.

Запись вида «\,a \sim b» читается как «a эквивалентно b».

Содержание

Связанные определения

  • Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если b \in C(a), то C(a) = C(b).

Множество всех классов эквивалентности обозначается X/\sim.

  • Множество классов эквивалентности по отношению \sim является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности \sim, обозначается символом X / ˜ и называется фактормножеством относительно \sim. При этом сюръективное отображение

p\colon x \mapsto C_x

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактормножество X / ˜.

Пусть X, Y — множества, f\colon X \to Y — отображение, тогда бинарное отношение x \, {R_f} \,y определённое правилом

x \mathop{R_f} y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X

является отношением эквивалентности на X. При этом отображение f индуцирует отображение \overline{f}\colon X/R_f \to Y, определяемое правилом

\overline{f}(C_x) = f(x)

или, что то же самое,

(\overline{f}\circ p)(x) = f(x).

При этом получается факторизация отображения f на сюръективное отображение p и инъективное отображение \overline{f}.

Литература

  • А. И. Кострикин Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Класс эквивалентности" в других словарях:

  • класс эквивалентности — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN equivalence class …   Справочник технического переводчика

  • класс эквивалентности — 2.3.5 класс эквивалентности : Подмножество проявлений измеряемого свойства, принятых условно неразличимыми в шкале измерений этого свойства. Источник: РМГ 83 2007: Государственная система обеспечения единства измерений. Шкалы измерений. Термины и …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • класс эквивалентности ЛЕ — 3.2 класс эквивалентности ЛЕ: Совокупность лексических единиц, различие значение которых несущественно для определения основного содержания документов в информационной системе. 3.3 Остальные термины по ГОСТ 7.0, ГОСТ 7.73, ГОСТ 7.74. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • класс эквивалентности по пересылке — (МСЭ Т Y.1310). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN forwarding equivalence classFEC …   Справочник технического переводчика

  • класс — 3.7 класс : Совокупность подобных предметов, построенная в соответствии с определенными правилами. Источник: ГОСТ Р 51079 2006: Технические средства реабилитации людей с ограничениями жизнедеятельности. Классификация …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Класс (теория множеств) — Класс  термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина «множество» для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким либо определенным свойством или признаком (например, в алгебре  классы эквивалентности).… …   Википедия

  • Класс вычетов — Сравнение по модулю натурального числа отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются)… …   Википедия

  • КЛАСС — 1) Термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина множество для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким либо определенным свойством или признаком (напр., в алгебре классы эквивалентности относительно… …   Математическая энциклопедия

  • РЕКУРСИВНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТИП — класс эквивалентности для отношения рекурсивной эквивалентности, т. е. совокупность всех подмножеств натурального ряда, каждые два из к рых могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с помощью частично рекурсивной функции. Таким… …   Математическая энциклопедия

  • Класс (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Класс. Класс  термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина «множество» для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким либо определенным свойством… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»