Конечнопорожденная абелева группа

В абстрактной алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление

где  — целые числа. В таком случае говорится, что порождает множество или что порождают .

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры

• Целые числа являются конечнопорождённой абелевой группой.
• Числа по модулю являются конечнопорождённой абелевой группой.
• Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых групп. Группа рациональных чисел не является конечнопорожденной: если , возьмём натуральное число w взаимно простое ко всем их делителям; тогда 1 / w не может быть порождено .

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

где , и числа являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения однозначно определены (с точностью до порядка) группой , в частности, конечна тогда и только тогда, когда n = 0.

На основании того факта что будет изоморфно произведению и тогда и только тогда, когда j и k взаимно просты и m = jk, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу в форме прямого произведения

где k₁ делит k₂, который делит k₃ и так далее до k_u. И снова, числа n и однозначно заданы группой .

См. также

Ссылки