Косое произведение векторов

Косое произведение векторов

Псевдоскалярное или косое произведение векторов \mathbf a и \mathbf b на плоскости называют число

\mathbf a \vee \mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\sin\angle (\mathbf a,\;\mathbf b),

где \angle (\mathbf{a},\;\mathbf{b}) — угол вращения (против часовой стрелки) от \mathbf a к \mathbf b. Если хотя бы один из векторов \mathbf a и \mathbf b нулевой, то полагают \mathbf a\vee \mathbf b=0.

Записывается с помощью тензора Леви-Чивиты \varepsilon_{ij} через координаты векторов так:

\mathbf a\vee \mathbf b = \sum_{i,\;j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j

Свойства

  • \mathbf a \vee \mathbf b = -\mathbf b\vee \mathbf a.
  • \mathbf a \vee \mathbf b является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
  • Псевдоскалярное произведение \mathbf a\vee \mathbf b — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы \mathbf{a} и \mathbf{b}.
    а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
  • Если рассмотривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
    \mathbf a\vee \mathbf b=\pm(\mathbf a \times \mathbf b)\cdot \mathbf n,
где «\times» и «\ \cdot» соответственно — векторное и скалярное произведение, а \mathbf{n} — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором \mathbf{n} образует также правый базис; в противном случае минус.
  • \mathbf a \vee \mathbf b = \mathbf 0 — необходимое и достаточное условие параллельности (или антипараллельности) векторов на плоскости.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Косое произведение векторов" в других словарях:

  • Косое произведение — специальный класс динамических систем. Косым произведением также называют псевдоскалярное произведение векторов на плоскости …   Википедия

  • Векторное произведение векторов — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

  • КОСОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — 1) К. п. векторов то же, что псевдоскалярное произведение векторов. 2) К. п. в эргодической теории автоморфизм Тпространства с мерой Е(и порожденный им каскад {Т п}).такой, что Еявляется прямым произведением двух пространств с мерой XxY и… …   Математическая энциклопедия

  • ПСЕВДОСКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — косое произведение, ненулевых векторов а и b произведение их модулей на синус угла j положительного (против часовой стрелки) вращения от а к b: Если a= 0 и (или) b=0, то П. п. полагают равным нулю. См. Векторная алгебра. А. Б. Иванов …   Математическая энциклопедия

  • Векторное умножение — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

  • АФФИННЫЙ ПАРАМЕТР — аффинная длина дуги, параметр на кривой, к рый сохраняется при преобразованиях аффинной группы и для определения к рого необходимо знать производные от радиус вектора кривой наиболее низкого порядка. Больше всего известен параметр, инвариантный… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»