Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $p$ -ой степенью.

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство
3 Замечание
4 Частные случаи
5 Литература
6 См. также

Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой, и функции $f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu)$ , то есть $\int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty$ , где $p \ge 1$ , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ , и более того:

$\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}$ .

Доказательство

Сначала докажем, что

$f,g \in L^{p} (E) \Rightarrow |f+g|^{p}$ суммируема на $\, E$ .

Введем множества: $E_1=E[|f| \geq |g|] \quad E_2=E[|f| < |g|]$

$\int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_1} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu$
$\int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_2} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu$

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu + \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu + 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu < \infty$

Перейдем к доказательству неравенства Минковского:

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_E |f+g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu+ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu$

$|f| \in L^{p}, |f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q} \in L^{q} \Rightarrow$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

$\int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$
$\int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$

Таким образом:

$\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} + (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$

Делим левую и правую части на $(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p}$ .

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда $(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} = 0$ неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ можно ввести норму:

$\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$ ,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$ . $L^p$ -норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$ ,

и тогда

$\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E$ .

Если $n = 2,3$ и $p = 2$ , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$ . Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ , таких что

$\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty$ ,

называется $l^p$ . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

$\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p$ .

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$ -м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$ , где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

$\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}$ .

Литература

Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

См. также

Категории:

Неравенства
Функциональный анализ
Теория вероятностей
Герман Минковский

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Неравенство Минковского" в других словарях:

неравенство Минковского — Minkovskio nelygybė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Minkowski’s inequality vok. Minkowskische Ungleichung, f rus. неравенство Минковского, n pranc. inégalité de Minkowski, f … Fizikos terminų žodynas
Неравенство Йенсена — обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком. Неравенство Йе … Википедия
Неравенство Гёлдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм — Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) и число q определяется равенством Тогда справедливы неравенства: (Неравенство Гёльдера) и … Википедия
Минковского неравенство — Неравенство Минковского это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой p ой степенью. Содержание 1 Формулировка 2 Замечание 3 Частные случаи … Википедия
НЕРАВЕНСТВО — отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… … Математическая энциклопедия
Неравенство Гёльдера — в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств . Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия
Неравенство Гельдера — Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств Lp. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Неравен … Википедия
Неравенство Брунна — Минковского — Теорема Брунна Минковского классическая теорема выпуклой геометрии, установлена Г. Брунном (H. Brunn) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2]. Пусть K0 и K1 … … Википедия
Минковского неравенство — неравенство вида где ak и bk (k = 1, 2,..., n) неотрицательные числа и r > 1. М. н. имеет аналоги для бесконечных рядов и интегралов; оно было установлено Г. Минковским (См. Минковский) в 1896 и выражает тот факт, что в n … Большая советская энциклопедия
МИНКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО — 1) Собственно М. н.: если действительные числа при i=l, . . ., n и р>1, то Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только… … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Неравенство Минковского

Содержание

Формулировка

Доказательство

Замечание