Биномиальное распределение

**Биномиальное распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$B(n,p)\,$
Параметры	$n \geqslant 0$ — число «испытаний» $0\leqslant p \leqslant 1$ — вероятность «успеха»
Носитель	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Функция вероятности	$\binom{n}{k}\, p^k q^{n-k} \!$
Функция распределения	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Математическое ожидание	$np\!$
Медиана	одно из $\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Дисперсия	$npq\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-p}{\sqrt{npq}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Информационная энтропия	$\frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Производящая функция моментов	$(q + pe^t)^n \!$
Характеристическая функция	$(q + pe^{it})^n \!$

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n\!$ независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p\!$ .

Определение

Пусть $X_1 ,\ldots, X_n$ — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.$

Построим случайную величину $Y\!$ :

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i$ .

Тогда $Y\!$ , число единиц (успехов) в последовательности $X_1,\ldots, X_n$ , имеет биномиальное распределение с $n\!$ степенями свободы и вероятностью «успеха» $p\!$ . Пишем: $Y \sim \mathrm{Bin}(n,p)$ . Её функция вероятности задаётся формулой:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R}$ ,

где $\lfloor y \rfloor$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$ , или в виде неполной бета-функции:

$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y ) = I_{1-p}(n-\lfloor y \rfloor,\lfloor y \rfloor +1)$ .

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n$ ,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = np$ ,

$\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np )$ ,

а дисперсия случайной величины.

$\mathbb{D}[Y] = npq$ .

Свойства биномиального распределения

Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p)$ и $~Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p)$ . Тогда $p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k)$ .
Пусть $Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p)$ и $Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p)$ . Тогда $Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p)$ .

Связь с другими распределениями

Если $n=1\!$ , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
Если $n\!$ большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq )$ , где $N(np,npq)\!$ — нормальное распределение с математическим ожиданием $np\!$ и дисперсией $npq\!$ .
Если $n\!$ большое, а $\lambda\!$ — фиксированное число, то $\mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda)$ , где $\mathrm{P}(\lambda)\!$ — распределение Пуассона с параметром $\lambda\!$ .

См. также

	п·Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| гиперэкспоненциальное \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| нормальное (Гаусса) \| логистическое \| Накагами \|Парето \| полукруговое \| непрерывное равномерное \| Райса \| Рэлея \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| variance-gamma	многомерное нормальное \| копула

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.

Категория:

Дискретные распределения

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… … Экономический словарь
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число ? появлений этого события есть… … Большой Энциклопедический словарь
биномиальное распределение — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution … Справочник технического переводчика
биномиальное распределение — (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… … Энциклопедический словарь
биномиальное распределение — 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Биномиальное распределение вероятностей — (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или … Экономико-математический словарь
биномиальное распределение вероятностей — Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… … Справочник технического переводчика
биномиальное распределение (в криптографии) — биномиальное распределение — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN binary distribution … Справочник технического переводчика
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно ( биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения … Математическая энциклопедия
Биномиальное распределение — распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых… … Большая советская энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Биномиальное распределение

Содержание

Определение

Функция распределения

Моменты

Свойства биномиального распределения

Связь с другими распределениями

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Биномиальное распределение

Содержание

Определение

Функция распределения

Моменты

Свойства биномиального распределения

Связь с другими распределениями

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: