Логнормальное распределение

Логнормальное распределение
Логнормальное
Плотность вероятности
График плотности
μ=0
Функция распределения
График функции распределения
μ=0
Обозначение \ln N(\mu,\sigma^2)\,
Параметры \sigma \ge 0
-\infty \le \mu \le \infty
Носитель x \in [0; +\infty)\!
Плотность вероятности \exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.
Функция распределения \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Математическое ожидание e^{\mu+\sigma^2/2}
Медиана e^{\mu}
Мода e^{\mu-\sigma^2}
Дисперсия (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Коэффициент асимметрии e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Коэффициент эксцесса e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6
Информационная энтропия \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Производящая функция моментов \operatorname{E}[X^s] = e^{s\mu + \tfrac{1}{2}s^2\sigma^2}.
Характеристическая функция \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}


Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{matrix} \right.,

где \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}. Тогда говорят, что X имеет логнормальное распределение с параметрами \mu и \sigma. Пишут: X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ .

Моменты

Формула для k-го момента логнормальной случайной величины X имеет вид:

\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},

откуда в частности:

\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}},
\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}.


Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

\alpha_{n} = e^{ (\mu, n) + \frac{1}{2}(n, \Sigma n)}, где \mu и \Sigma — параметры многомерного совместного распределения. n — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, n=(2,0) — второй нецентральный момент первой компоненты, n=(1,1) — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right).

Связь с другими распределениями

  • Если X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ , то
Y = \ln X \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ .

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Логнормальное распределение" в других словарях:

  • логнормальное распределение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] логнормальное распределение Распределение случайной величины, логарифм которой характеризуется нормальным распределением. С его помощью удобно описывать некоторые… …   Справочник технического переводчика

  • ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Логарифмически нормальное распределение …   Математическая энциклопедия

  • Распределение Гаусса — Нормальное распределение Плотность вероятности Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху …   Википедия

  • Логнормальное, логарифмически-нормальное распределение — [log normal distribution] распределение случайной величины, логарифм которой характеризуется нормальным распределением. С его помощью удобно описывать некоторые экономические явления, например, дифференциацию заработной платы, распределение… …   Экономико-математический словарь

  • Распределение вероятностей — Распределение вероятностей  это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений …   Википедия

  • Распределение хи-квадрат — Распределение . Распределение Пирсона Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Пуассона — Функция вероятности …   Википедия

  • Распределение Коши — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Парето — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение (математика) — Распределение вероятностей это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискрет …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»