Конечнопорождённая абелева группа

В абстрактной алгебре абелева группа $(\mathbb{G},\;+)$ называется конечнопорождённой, если существует конечный набор $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}$ , такой что $\forall x \in \mathbb{G}$ существует представление

$x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,$

где $n_1,\;\ldots,\;n_s$ — целые числа. В таком случае говорится, что $\{ x_1,\;\ldots,\;x_s \}$ порождает группу $\mathbb{G}$ или что $x_1,\;\ldots,\;x_s$ порождают $\mathbb{G}$ .

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры

Целые числа $(\mathbb{Z},\;+)$ являются конечнопорождённой абелевой группой.
Числа по модулю $(\mathbb{Z}_n,\;+)$ являются конечнопорождённой абелевой группой.
Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых групп. Группа $(\mathbb{Q},\;+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}$ , возьмём натуральное число $w$ , взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда $1/w$ не может быть порождено $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}$ .

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа $\mathbb{G}$ изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{m_t},$

где $n \geqslant 0$ , и числа $m_1,\;\ldots,\;m_t$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n,\;m_1,\;\ldots,\;m_t$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой $\mathbb{G}$ , в частности, $\mathbb{G}$ конечна тогда и только тогда, когда $n = 0$ .

На основании того факта что $\mathbb{G}_m$ будет изоморфно произведению $\mathbb{G}_j$ и $\mathbb{G}_k$ тогда и только тогда, когда $j$ и $k$ взаимно просты и $m = j k$ , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $\mathbb{G}$ в форме прямого произведения

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},$

где $k_1$ делит $k_2$ , который делит $k_3$ и так далее до $k_u$ . И снова, числа $n$ и $k_1,\;\ldots,\;k_u$ однозначно заданы группой $\mathbb{G}$ .

См. также

Для улучшения этой статьи по математике желательно^?:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Категория:

Теория групп

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное

Смотреть что такое "Конечнопорождённая абелева группа" в других словарях:

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Конечнопорожденная абелева группа — В абстрактной алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление где целые числа. В таком случае говорится, что … Википедия
Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Метациклическая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Мультипликативная группа поля — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Периодическая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Циклическая группа — В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n целое число).… … Википедия
Фактор-группа — Пусть G группа, и H её нормальная подгруппа, то есть для любого элемента его правый и левый классы смежности совпадают: aH = Ha Тогда на классах смежности H в G можно ввести умножение: (aH)(bH) = abH Легко проверить что это умножение не зависит … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Конечнопорождённая абелева группа

Примеры

Классификация

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Конечнопорождённая абелева группа" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Конечнопорождённая абелева группа

Примеры

Классификация

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Конечнопорождённая абелева группа" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: