Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциал (дифференциальная геометрия)
У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения).

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Содержание

Необходимые знания

Для полного понимания этой статьи от читателя требуется начальные предствления о гладких многообразиях и их касательных пространствах.

Обозначения

Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать \operatorname{d}f шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x обозначается d_xf, а иногда df_x или df[x]. (d_xf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.)

Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения d_xf(v), df_x(v) и df[x](v) также правомерны.

Используется так же обозначение f_*; последнее свазано с тем, что дифференциал f\colon M\to N является естественным поднятием f на косательные расслоения к многообразиям M и N.

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть M — гладкое многообразие и f\colon M\to \R гладкая функция. Дифференциал f представляет из себя 1-форму на M, обычно обозначается df и определяется соотношением

df(X)=d_pf(X)=X f,

где X f обозначает производную f по направлению касательного вектора X в точке p\in M.

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие F\colon M\to N есть отображение между их касательными расслоениями, dF\colon TM\to TN, такое что для любой гладкой функции g\colon N\to\R имеем

[dF(X)]g=X(g\circ F),

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X); в правой — в M функции g\circ F по X).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

  • Точка x многообразия M называется критической точкой отображения f: M \to N, если дифференциал d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
    • В этом случае f(x) называется критическим значением f.
    • Точка y \in N называется регулярной, если она не является критической.
  • Гладкое отображение F\colon M\to N называется субмерсией, если для любой точки x\in M, дифференциал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N сюръективен.
  • Гладкое отображение F\colon M\to N называется гладким погружением, если для любой точки x\in M, дифференциал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N инъективен.

Свойства

  • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
    d(F\circ G)=dF\circ dG или d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG

Примеры

  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R задана гладкая функция f\colon \Omega\to\R. Тогда df=f'\,dx, где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой, определяемой dx(V)=V.
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R^n задана гладкая функция f\colon\Omega\to\R. Тогда df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i. Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V)=v_i, для вектора V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n).
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R^n задано гладкое отображение F\colon\Omega\to\R^m. Тогда
    d_xF(v)=J(x)v,
где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

См. также


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи желательно?:
  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Дифференциал (дифференциальная геометрия)" в других словарях:

  • Кодифференциал (дифференциальная геометрия) — Кодифференциалом отображения между дифференцируемыми многообразиями называют отображение , определяемое ф …   Википедия

  • Дифференциальная геометрия —         раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и …   Большая советская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К. Гаусса (1777 1855),… …   Энциклопедия Кольера

  • Распределение (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Распределение. Распределением на многообразии называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке выбрано линейное подпространство касательного… …   Википедия

  • Связность (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Связность. Связность  структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения. Точнее: Пусть дано гладкое расслоение ,… …   Википедия

  • Дифференциал (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Дифференциал (от лат. differentia разность, различие) линейная часть приращения функции. Содержание 1 Обозначения …   Википедия

  • Дифференциал (значения) — Дифференциал: В математике Дифференциал (математика)  1 форма, которая характеризует поведение функции в окрестности точки. Дифференциал (дифференциальная геометрия) Дифференциал (механика)  часть трансмиссии, которая служит для того,… …   Википедия

  • Дифференциальная форма — порядка или форма  кососимметрическое тензорное поле типа на касательном расслоении многообразия. Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах… …   Википедия

  • Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальная алгебра — Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием  унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля  поле рациональных… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»