Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$ или $k$ -форма — кососимметрическое тензорное поле типа $(0, k)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$ -форм на многообразии $M$ обычно обозначают $\Omega^k(M)$ .

Содержание

1 Определения
- 1.1 Инвариантное
- 1.2 Через локальные карты
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Примеры
5 Применения
6 Вариации и обобщения
7 Литература
8 См. также

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени $k$ — это гладкое сечение $k$ -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

$k$ -формой на $\mathbb{R}^n$ будем называть выражение следующего вида

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ — гладкие функции, $dx^i$ — дифференциал $i$ -ой координаты $x^i$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$ ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

Для $k$ -формы $\omega^k$ , её внешний дифференциал это $(k+1)$ -форма

$d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
Факторгруппа $H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$ -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
Внутренней производной формы $\omega$ по векторному полю $\mathbf{v}$ называется форма

$i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)$

Свойства

В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $dx^i$ — дифференциал $i$ -ой координаты $x^j$ , а $\wedge$ — внешнее произведение.

Для дифференциалов дифференциальных форм $\omega_F$ векторного поля $F$ справедливо:

$d(d \omega_F) = 0$

$d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1$

$d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2$

$d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3$

$d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4$

Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от $k$ векторов.
Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

$\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)$
Для любой формы справедливо $d(d\omega)=0$ .
теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:

$d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}$

Примеры

С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_p (M)$ в множество вещественных чисел $\R$ :

$\omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R$
Форма объёма — пример $n$ -формы на $n$ -мерном многообразии.
Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$ -многообразии, такая что $\omega^n\not=0$ .

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и $\sigma$ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на $M$ . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на $M$ . Тогда ротор и дивергенцию для полей на $\R^3$ можно представить как

$\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)$

$\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$ , называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X \in M$ изоморфизм $I$ кокасательного $T^{*}_{X}M$ и касательного $T_{X}M$ пространств по правилу

$dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M$ ,

где $dH$ — дифференциал функции $H$ . Векторное поле $I dH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F, G] = \omega( I dF, I dG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$ со значениями в векторном расслоении $\pi\colon E \to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $T M$ .

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

Категория:

Дифференциальные формы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное

Смотреть что такое "Дифференциальная форма" в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА — 1) Д. ф. степени р, р форма на дифференцируемом многообразии М р раз ковариантное тензорное поле на М. Ее можно интерпретировать также как р линейное (над алгеброй F(M)гладких вещественных функций на М)отображение F(M), где есть Р(М) модуль… … Математическая энциклопедия
дифференциальная форма — diferencialinis pavidalas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differential form vok. Differentialform, f rus. дифференциальная форма, f pranc. forme différentielle, f … Fizikos terminų žodynas
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… … Математическая энциклопедия
Форма — (лат. forma форма, внешний вид): В Викисловаре есть статья «форма» … Википедия
Форма (значения) — Форма (лат. forma) Форма (философия) в философии противоположность содержанию, субстанции, материи. Форма в сфере одежды одежда военных, милиции и т. д. Форма установленный образец, шаблон оформления документации. Форма элемент стандартного… … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ РЕНТА — форма земельной ренты, порождается монополией на землю как объект хозяйства. Представляет собой добавочную прибыль, возникающую как разница в производительности труда при равновеликих затратах на средних и лучших (по местоположению или… … Большой Энциклопедический словарь
Дифференциальная рента — форма земельной ренты, порождается монополией на землю как объект хозяйства. Представляет собой добавочную прибыль, возникающую как разница в производительности труда при равновеликих затратах на средних и лучших (по местоположению или… … Политология. Словарь.
Форма кривизны — Форма кривизны 2 форма на пространстве главного расслоения со структурной группой Ли , принимающая значения в алгебре Ли группы и определяемая по форме связности , заданной на … Википедия
дифференциальная рента — Форма земельной ренты, представляющая добавочную прибыль, возникающую как разница в производительности труда при равновеликих затратах на средних и лучших землях или при добавочных вложениях капитала на одном и том же земельном участке … Словарь по географии
Дифференциальная геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и … Большая советская энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Дифференциальная форма

Содержание