Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Содержание

1 Определение
2 Операции
3 Связанные определения
4 Литература

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии $M$ называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

$\omega\colon M \to \left(\wedge^k T^*M\right) \otimes_{M} TM$

$\pi \circ \omega = \imath d$

Операции

Этот раздел не завершён.

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Внутреннее дифференицрование
Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля $T$ по векторному полю $X$ определяется стандартным образом:

$L_X T = \frac{d}{dt} g^t T$

где $g^t$ — фазовый поток, соответствующий векторному полю $X$ . Эта операция связана с внутренним умножением $\imath_X$ дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

$L_X = \imath_X d + d \imath_X$

то есть

$L_X = [\imath_X, d]$

где $[\cdot,\cdot]$ — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы $K$ производная Ли определяется по аналогии:

$L_K = [\imath_K, d]$

Свойства

$[L_K, d] = 0$

F-N скобки

Скобки Frölicher-Nijenhuis (F-N скобки) $[\cdot,\cdot]$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]$ , для которой

$[L_K, L_F] = L([K,F])$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби.

N-R скобки

Скобки Nijenhuis-Richardson (N-R скобки, алгебраические скобки) $[\cdot,\cdot]^\wedge$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]^\wedge$ , для которой

$[\imath_K, \imath_F] = \imath([K,F]^\wedge)$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм $K \in \Omega^{k+1}(M,TM)$ , $F \in \Omega^{f+1}(M,TM)$ :

$[K, F]^\wedge = \imath_k F - (-1)^{k f} \imath_F K$

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в $T^*M \otimes TM$ .

Литература

Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.

Категория:

Дифференциальные формы

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Тангенциальнозначная форма" в других словарях:

Припаивающая форма — Тангенциальнозначные формы это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию. Содержание 1 Определение 2 Операции 2.1 Производная Ли … Википедия
Производная Ли — тензорного поля по направлению векторного поля главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем . Названа в … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Тангенциальнозначная форма

Содержание

Определение