Арифметический корень

Арифметический корень

Арифметический корень n-й степени (n > 0) из числа a — это такое число b, что bn = a. В поле действительных чисел корень может иметь до двух решений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. Обозначается символом \sqrt[n]{\ }.

Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем[1] и может записываться без указания степени: \sqrt{\ }. Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем[2].

Содержание

Свойства

  • \sqrt[n]{0} = 0;
  • \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;
  • \sqrt [n] {a^n}=a; a \geqslant 0
  • \forall a\geqslant 0,b>0 \qquad \sqrt [n] {\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}
  • \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.
  • \sqrt [nk] {a^{mk}}=\sqrt [n] {a^m}, \qquad a>0,n \in \mathbb N
  • \forall a\geqslant 0,\qquad n,k \in \mathbb N \qquad \sqrt [n] {\sqrt [k] {a}}=\sqrt [nk] {a}

Обобщения

Дробная степень числа (1+x), где |x|<1, может быть разложена в ряд Тейлора по формуле:

(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{s/t}{n} x^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (s+t-kt)}{n!\,t^n}\cdot x^{n}.


Корень комплексного числа

Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

z = |z| \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right).

Тогда

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),

где k = 0, 1, ..., n-1. Корень степени n имеет n значений. Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса \sqrt[n]{|z|} c центром в начале координат.


См. также

Примечания

  1. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
  2. ↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Арифметический корень" в других словарях:

  • АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ — арифметическое значение корня n й степени из действительного числа неотрицательное число, n я степень к рого равна а. Если рассматриваются два действительных значения корня четной степени из неотрицательного числа, то говорят об алгебраическом… …   Математическая энциклопедия

  • Корень n-й степени — Арифметический корень n й степени (n > 0) из неотрицательного числа есть единственное неотрицательное решение уравнения . Обозначается символом (или просто при ) …   Википедия

  • Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

  • Корень (значения) — Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике)  вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп …   Википедия

  • Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… …   Википедия

  • Кубический корень — График функции y = Кубический (кубичный) корень из a  решение уравнения (обычно п …   Википедия

  • Арифметический квадратный корень — …   Википедия

  • Извлечение корня — Арифметический корень n й степени (n > 0) из неотрицательного числа есть единственное неотрицательное решение уравнения . Обозначается символом (или просто при ) …   Википедия

  • Свойства корня — Арифметический корень n й степени (n > 0) из неотрицательного числа есть единственное неотрицательное решение уравнения . Обозначается символом (или просто при ) …   Википедия

  • Sqrt — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»