Алгоритм нахождения корня n-ной степени

Арифметическим корнем n-ной степени ⁿ√A положительного действительного числа A называется положительное действительное решение уравнения

(для целого n существует n комплексных решений данного уравнения, если A > 0, но только одно является положительным действительным).

Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня n-ной степени:

1. Сделать начальное предположение
2. Задать
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня, которая получается подстановкой n = 2 в шаг 2:

Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных) для нахождения нулей функции с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней.

Для больших значений n данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.

Вывод из метода Ньютона

Метод Ньютона — это метод нахождения нулей функции f(x). Общая итерационная схема:

1. Сделать начальное предположение
2. Задать
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Задача нахождения корня n-ной степени может быть рассмотрена как нахождение нуля функции

Производная этой функции равна

Тогда итерационное правило

приводит к алгоритму нахождения корня n-ной степени.

Ссылки

• Atkinson, Kendall E. (1989), «An introduction to numerical analysis» (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0471624896 .