Модифицированное Z-преобразование

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

$F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}$

где

T — период дискретизации
m («параметр смещения») — часть периода дискретизации $[0, T).$

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

$Z \left[ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right] = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m).$

Сдвиг по времени

$Z \left[ u(t - n T)f(t - n T) \right] = z^{-n} F(z, m).$

Ослабление

$Z \left[ f(t) e^{-a\, t} \right] = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).$

Умножение аргумента

$Z \left[ t^y f(t) \right] = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).$

Теорема о конечном значении

$\lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{k = 1+} F(z, m).$

Таблица основных преобразований

f(t)	F(z, m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}$
e^-at	$\frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
1 — e^-at	$\frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
sin ωt	$\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }$

Пример

Пусть оригинал для преобразования $f(t) = \cos(\omega t)$ . Тогда:

$F(z, m) = Z \left[\cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right]$

$F(z, m) = Z \left[\cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right]$

$F(z, m) = \cos(\omega m) Z \left[ \cos (\omega k T) \right] - \sin (\omega m) Z \left[ \sin (\omega k T) \right]$

$F(z, m) = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}$

$F(z, m) = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}.$

Если $m=0$ , то $F(z, m)$ совпадает с Z-преобразованием:

$F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}$

См. также

Z-преобразование

Категория:

Дискретные преобразования

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Модифицированное Z-преобразование" в других словарях:

Модифицированное дискретное косинус-преобразование — (МДКП) является преобразованием Фурье и основывается на дискретном косинусном преобразовании (ДКП IV). Это преобразование с перекрытием. Оно выполняется на последовательных блоках объемных наборов данных, каждый из последующих блоков… … Википедия
Преобразование Райдемайстера — В математической теории узлов, движением (преобразованием) Рейдемейстера называют одно из трёх локальных движений на диаграмме зацепления. В 1927 Джеймс Александер и Бриггс, а также независимо от них Курт Рейдемейстер, показали, что две диаграммы … Википедия
Преобразование Рейдемейстера — В математической теории узлов, движением (преобразованием) Рейдемейстера называют одно из трёх локальных движений на диаграмме зацепления. В 1927 Джеймс Александер и Бриггс, а также независимо от них Курт Рейдемейстер, показали, что две диаграммы … Википедия
Z-преобразование — Z преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную… … Википедия
Z-оператор — Z преобразованием называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то… … Википедия
Цифровая обработка сигналов — (ЦОС, DSP англ. digital signal processing) преобразование сигналов, представленных в цифровой форме. Любой непрерывный (аналоговый) сигнал может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то… … Википедия
МОДИФИКАЦИЯ — (лат., от modus мера, и facere делать). Видоизменение, перемена. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МОДИФИКАЦИЯ [фр. modification < лат. modificatio] видоизменение чего л., переработка, разновидность,… … Словарь иностранных слов русского языка
Сжатие аудиоданных — В Википедии … Википедия
МОДИФИКАЦИЯ — МОДИФИКАЦИЯ, модификации, жен. (лат. modificatio) (книжн.). 1. Видоизменение, преобразование. 2. Что нибудь видоизмененное, модифицированное. || Сильное отклонение организма от родительских форм, не передающееся по наследству (биол.). Толковый… … Толковый словарь Ушакова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ — потоки на торе, класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы )на элементы к. л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах угловых , или циклических , координат на торе,… … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Модифицированное Z-преобразование

Содержание