Z-оператор

Z-оператор

Z-преобразованием называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты E(n) = z − n = r − ne − iωn, то есть на гармонические осцилляциии с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Содержание

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \

где n — целое, z — комплексное число.

z= A e^{j\varphi} \

где A — амплитуда, а \varphi — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для n\ge0, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

x[n] = Z^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint\limits_{C} X(z) z^{n-1} dz \

где C — контур, охватывающий область сходимости X(z). Контур должен содержать все вычеты X(z) \ .

Положив в предыдущей формуле z = r e^{j n \varphi}, получим эквивалентное определение:

x[n] = \frac{r^{n}}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}d \varphi

Область сходимости

Область сходимости представляет из себя некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие: OC = \left\{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\right\}\

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Таблица некоторых Z-преобразований

Сигнал, x[n] Z-преобразование, X(z) Область сходимости
1 \delta[n] \, 1\, \forall z\,
2 \delta[n-n_0] \, \frac{1}{z^{n_0}} \forall z\,
3 u[n] \, \frac{z}{z-1} |z| > 1\,
4 a^n u[n] \, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| > |a|\,
5 n a^n u[n] \, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
6 -a^n u[-n-1] \, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
7 -n a^n u[-n-1] \, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| < |a|\,
8 \cos(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
9 \sin(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
10 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,
11 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \, \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Z-Transform на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Z-оператор" в других словарях:

  • Оператор ветвления — (условная инструкция, условный оператор)  оператор, конструкция языка программирования, обеспечивающая выполнение определённой команды (набора команд) только при условии истинности некоторого логического выражения, либо выполнение одной из… …   Википедия

  • Оператор Айверсона — Оператор Айверсона, в дисциплине компьютерного зрения  оператор обнаружения границ в изображениях. Был разработан Ли Айверсоном[1] и Стивеном Цукером[2]. Описание метода было впервые опубликовано в журнале IEEE Transactions on Pattern… …   Википедия

  • Оператор-постановщик — в художественном кинематографе  один из основных создателей фильма, непосредственно работающий над его изобразительным решением, руководитель операторской группы[1]. Содержание 1 Оператор постановщик художественного фильма …   Википедия

  • Оператор Ротуэлла — Оператор Ротуэлла, в дисциплине компьютерного зрения  оператор для обнаружения границ, представленный Чарлзом Ротуэллом (англ. C. A. Rothwell) на Симпозиуме IEEE по компьютерному зрению[1] в 1995 году. В целом, оператор Ротуэлла… …   Википедия

  • оператор — Человек/люди, в задачи которого(ых) входят установка, пуск в эксплуатацию, эксплуатация, наладка, поддержание в рабочем состоянии, чистка, ремонт или транспортировка машины. Термин «оператор» распространяется также на работников,… …   Справочник технического переводчика

  • Оператор Д’Аламбера — (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан)  дифференциальный оператор второго порядка где   оператор Лапласа,   постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид …   Википедия

  • Оператор Даламбера — Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан)  дифференциальный оператор второго порядка где Δ  оператор Лапласа, c  постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком. Имеет в декартовых координатах вид:… …   Википедия

  • Оператор Кэнни — (детектор границ Кэнни, алгоритм Кэнни) в дисциплине компьютерного зрения  оператор обнаружения границ изображения. Был разработан в 1986 году Джоном Кэнни (англ. John F. Canny) и использует многоступенчатый алгоритм для… …   Википедия

  • Оператор персональных данных — (согласно закону РФ «О персональных данных»)  государственный орган, муниципальный орган, юридическое или физическое лицо, организующие и (или) осуществляющие обработку персональных данных, а также определяющие цели и содержание обработки… …   Википедия

  • Оператор Лапласа-Бельтрами — (называется иногда оператором Бельтрами Лапласа или просто оператором Бельтрами) дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии M. В координатах где n = dimM,… …   Википедия

  • ОПЕРАТОР — (лат. operator, от opus труд.). Производящий операции, врач, имеющий дело с ранами. В машине: главная часть, приводящая в действие. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ОПЕРАТОР 1) врач, производящий… …   Словарь иностранных слов русского языка


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»