Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство Коши (неравенство о средних) Для любых неотрицательных чисел x_1,x_2,\dots,x_n верно неравенство:

\bar{x}_\mathrm{kvadr} \ge \bar{x}_\mathrm{arithm} \ge \bar{x}_\mathrm{geom} \ge \bar{x}_\mathrm{garmon},

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x_1=x_2=\dots=x_n.

Выражение

\bar{x}_\mathrm{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

называется средним арифметическим, а

\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}

средним геометрическим чисел x_1,x_2,\dots,x_n.

Выражение

\bar{x}_\mathrm{garmon} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

называется средним гармоническим чисел x_1,x_2,\dots,x_n.

Связанные результаты

История

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим" в других словарях:

  • Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим — Неравенство Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом) Для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Выражение называется средним арифметическим, а …   Википедия

  • Неравенство Йенсена — обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком. Неравенство Йе …   Википедия

  • Неравенство о средних — Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как При этом по непрерывности доопределяются следующие величины …   Википедия

  • Коши неравенство — Название «Неравенство Коши» может относиться к одному из следующих неравенств: Неравенство Коши Буняковского Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим …   Википедия

  • ИЕНСЕНА НЕРАВЕНСТВО — в простейшей дискретной форме: где f(x) выпуклая (см. Выпуклая функция )на нек ром множестве Сфункция, i=1, 2, . . ., n, Равенство достигается тогда и только тогда, когда либо х 1=x2=. . . = xn, либо f(x). линейная функция. И н те тральное И. н.… …   Математическая энциклопедия

  • Среднее геометрическое — Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально: Среднее геометрическое двух чисел также называется… …   Википедия

  • Среднее степенное — У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение. Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как При этом по непрерывности доопределяются следующие величины …   Википедия

  • Среднее арифметическое — У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение. В математике и статистике среднее арифметическое одна из наиболее распространённых мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех наблюденных значений деленную на их… …   Википедия

  • Коши, Огюстен Луи — Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy …   Википедия

  • Коши, Огюстен — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»