Неравенство о средних

Неравенство о средних

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел x_1, \ldots, x_n определяется как

~A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [d]{\sum_{i=1}^n x^d_i \over n}

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:

A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i}
A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}
A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Содержание

Другие названия

Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней 1, 0, −1 и 2 имеют собственные имена:

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

Соответственно (для наборов из положительных чисел) \lim_{d \to +\infty } A_d (x_1, \ldots , a_n) = \operatorname{max} (a_1,\ldots , a_n) и \lim_{d \to -\infty } A_d (x_1, \ldots , a_n) = \operatorname{min} (a_1,\ldots , a_n)

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для d1 > d2

A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n),

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов x_1 = \ldots = x_n.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная A_d(x_1, \ldots, x_n) по d неотрицательна и обращается в ноль только при x_1 = \ldots = x_n (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},

где каждое из равенств достигается только при x_1 = \ldots = x_n.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Неравенство о средних" в других словарях:

  • Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — Неравенство Коши (неравенство о средних) Для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Выражение называется средним арифметическим, а …   Википедия

  • НЕРАВЕНСТВО — отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… …   Математическая энциклопедия

  • Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим — Неравенство Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом) Для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Выражение называется средним арифметическим, а …   Википедия

  • МИНКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО — 1) Собственно М. н.: если действительные числа при i=l, . . ., n и р>1, то Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только… …   Математическая энциклопедия

  • Среднее степенное — У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение. Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как При этом по непрерывности доопределяются следующие величины …   Википедия

  • Неравенства — I Неравенства (математические)         соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н. употребляется знак 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда… …   Большая советская энциклопедия

  • Неравенства (матем.) — Неравенства (математические), соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н. употребляется знак <, обращенный остриём к меньшему числу. Так, соотношения 2 > 1 и 1 < 2 выражают одно и …   Большая советская энциклопедия

  • Среднее значение — Среднее значение  числовая характеристика множества чисел или функций;  некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений. Содержание 1 Основные сведения 2 Иерархи …   Википедия

  • Среднее гармоническое — Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число Содержание 1 Свойства 2 Приложения и примеры …   Википедия

  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»