Предел вдоль фильтра

Предел вдоль фильтра

Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела.

Содержание

Определение фильтра

Основная статья: Фильтр (математика)

Пусть дано множество X. Непустая система \mathfrak{B} подмножеств множества X называется базисом фильтра на X, если

  • для любого B\in \mathfrak{B} выполнено B \neq \varnothing;
  • для любых B_1,B_2 \in \mathfrak{B} существует B_3\in \mathfrak{B} такое, что B_3 \subset B_1 \cap B_2.

Определение предела

Везде далее \mathfrak B -- базис фильтра на множестве X

Предел числовой функции

Пусть f:X \to \mathbb{R}. Число A \in \mathbb{R} называется пределом функции f по базе \mathfrak{B}, если

для любого \varepsilon > 0 существует B \in \mathfrak{B} такое, что для всех x \in B выполнено неравенство |f(x)-A| < \varepsilon.

Пишут: \lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = A.

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

Пусть (M,\rho) - метрическое пространство и f : X\to M. Точка a\in M называется пределом функции f по базе \mathfrak{B}, если

для любого \varepsilon > 0 существует B \in \mathfrak{B} такое, что для всех x \in B выполнено неравенство \rho(f(x),a) < \varepsilon.

Пишут: \lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

Пусть (M,\mathcal T) - топологическое пространство и f\colon X\to M. Точка a\in M называется пределом функции f по базе \mathfrak{B}, если

для любой окрестности V точки a существует B \in \mathfrak{B} такое, что f(B)\subset V, т.е. для всех x \in B выполняется включение f(x)\in V

Пишут: \lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.

Замечание. Последнее "равенство" корректно использовать лишь в случаях, когда пространство (M,\mathcal T) - хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и M \subset X. Пусть a \in M'. Тогда система множеств

\mathfrak{B} = \left\{M\cap\dot{U} \equiv M\cap U \setminus\{a\} \mid a\in U\in\mathcal T \right\}

является базисом фильтра и обозначается M\ni x \to a. Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру x \to a.

Односторонние пределы

Основная статья: Односторонние пределы
  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in \bigl(M \cap (a, \infty) \bigr)'. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}

является базисом фильтра и обозначается x \to a+ или x \to a+0. Предел \lim\limits_{x \to a+}f(x) называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и a \in \bigl(M \cap (-\infty,a) \bigr)'. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}

является базисом фильтра и обозначается x \to a- или x \to a-0. Предел \lim\limits_{x \to a-}f(x) называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a.

Пределы на бесконечности

Основная статья: Пределы функции на бесконечности
  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \sup M = \infty. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{M \cap (T,\infty) \mid T \in \mathbb{R}\}.

является базисом фильтра и обозначается x \to \infty или x \to +\infty. Предел \lim\limits_{x \to \infty}f(x) называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.

  • Пусть M \subset \mathbb{R}, и \inf M = -\infty. Тогда система множеств
\mathfrak{B} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}.

является базисом фильтра и обозначается x \to -\infty. Предел \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) называется пределом функции f при x стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Система множеств \mathfrak{B} = \{B_n\}_{n=1}^{\infty}, где

B_n = \{n,n+1,n+2,\ldots\} \quad n \in \mathbb{N},

является базисом фильтра и обозначается n \to \infty. Функция n\in \mathbb{N} \mapsto f_n\in \mathbb{R} называется числовой последовательностью, а предел \lim\limits_{n \to \infty}f_n пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Пусть f\colon [a,b]\subset \R \to \R. Назовём размеченным разбиением отрезка [a,b] коллекцию точек T = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}<x_n = b,\; x_{n-1} \leqslant \xi_n \leqslant x_n \; n \in \mathbb{N}\}. Назовём диаметром разбиения T число d(T) = \max\limits_{i \in \{1,\ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}). Тогда система множеств

\mathfrak{B} = \{T \mid d(T) < \delta, \delta > 0\}

является базисом фильтра в пространстве \mathfrak{T} всех размеченных разбиений [a,b]. Определим функцию S_f:\mathfrak{T} \to \mathbb{R} равенством

S_f(T) = \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\quad T \in \mathfrak{T}.

Тогда предел \lim\limits_{\mathfrak{B}} S_f(T) называется интегралом Римана функции f на отрезке [a,b].

Литература

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Предел вдоль фильтра" в других словарях:

  • Предел функции — x 1 0.841471 0.1 0.998334 0.01 0.999983 Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1. Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к …   Википедия

  • Предел слева — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Предел справа — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Односторонний предел — в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).… …   Википедия

  • Левосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Правосторонний предел — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Односторонние пределы — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Пределы функции на бесконечности — График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L. Предел функции  одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0,… …   Википедия

  • полоса — 3.20 полоса : Основа холодного клинкового оружия, состоящая из клинка и хвостовика. Источник: ГОСТ Р 51501 99: Ножи туристические и специальные спортивные. Общие технические условия …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • методы — методы: Методы косвенного измерения влажности газов, основанные на зависимости их оптических свойств от влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения единства измерений. Измерен …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»