Пределы функции на бесконечности

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен

L

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция $f (x)$ имеет предел $A$ в точке $x 0$ , если для всех значений $x$ , достаточно близких к $x 0$ , значение $f (x)$ близко к $A$ .

Содержание

1 Определения
2 Обозначения
3 Свойства пределов числовых функций
4 Вариации и обобщения
- 4.1 Пределы на бесконечности
5 См. также
6 Ссылки
7 Литература

Определения

Пусть дана функция , — предельная точка множества M, .
- (определение в терминах «ε−δ») Пусть
  
  $\forall \varepsilon&gt;0\; \exists \delta &gt; 0\; \forall x \in M \quad (0&lt;|x-a|&lt;\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| &lt; \varepsilon).$
- (окрестностное определение по Коши) Пусть для любой окрестности $V (A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot{U}(a)$ точки $a$ такая, что образ этой окрестности $f\left(\dot{U}(a)\right)$ лежит в $V (A)$ :
  
  $\forall V(A)~\exists \dot{U}(a)\quad\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow \left(f(x) \in V(A)\right).$
  
  Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье Предел вдоль фильтра.
- (определение по Гейне)
  - Будем называть последовательностью Гейне, если
    1. $\forall n\in \N\; \xi_n \in M \setminus \{a\}$
    2. $\xi_n \to a$ при $n \to \infty$ .
Пусть для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности:

$f(\xi_n) \to A$ при $n \to \infty.$
Тогда $A$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$ .

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

Обозначения

Если предел функции $f$ при $x \to a$ существует и равен $A$ , пишут

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.$

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \R \to \R,$ и $a \in M'.$ Тогда

Предел $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ единственен, то есть

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);$

Доказательство

$\blacktriangleleft$ Доказательство методом от противного. Пусть существует $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ и $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ и $A_1\not= A_2$ . Предположим $A 1 < A 2$ . Возьмём $\varepsilon &gt;0$ , такое что $A_1+\varepsilon &lt; A_2-\varepsilon$ , т.е. $\varepsilon &lt; \frac{A_2-A_1}{2}$ .

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \Rightarrow \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) &gt; 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_1}(a) \Rightarrow |f(x) - A_1| &lt; \varepsilon$ , т.е. $A_1-\varepsilon &lt;f(x)&lt;A_1+\varepsilon$ .

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \Rightarrow \exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) &gt; 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_2}(a) \Rightarrow |f(x) - A_2| &lt; \varepsilon$ , т.е. $A_2-\varepsilon &lt;f(x)&lt;A_2+\varepsilon$ .

Тогда получаем $A_1-\varepsilon&lt;f(x)&lt;A_1+\varepsilon&lt;A_2-\varepsilon&lt;f(x)&lt;A_2+\varepsilon \Rightarrow$ Противоречие. Значит предел единственный. $\blacktriangleright$

Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более общо,

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A &gt; B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) &gt; B\right),$

где $\dot{U}_{\epsilon}(a)$ — проколотая окрестность точки

a

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A &gt;0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) &gt; 0\right);$

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &gt;0\; \exists K&gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);$

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

$\left(\exists \epsilon&gt;0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);$

Предел суммы равен сумме пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

Предел разности равен разности пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

Предел произведения равен произведению пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

Предел частного равен частному пределов.

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

Вариации и обобщения

Односторонний предел — левый или правый предел в точке.
Предел вдоль фильтра.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичные «ε−δ»

Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть $f\colon M\subset \R \to \R,$ и $\sup M = \infty.$ Число $A\in \R$ называется пределом функции $f$ при $x\to +\infty$ (предел в плюс бесконечности), если

$\forall \varepsilon &gt; 0\; \exists T \in \R\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| &lt; \varepsilon.$

Пишут:

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.$
Аналогично пусть $f:M\subset \R \to \R,$ и $\inf M = \infty.$ Число $A\in \R$ называется пределом функции $f$ при $x\to -\infty$ (предел в минус бесконечности), если

$\forall \varepsilon &gt; 0\; \exists T \in \R\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| &lt; \varepsilon.$

Пишут:

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.$

Если пределы в $+\infty$ и $-\infty$ существуют и равны, то говорят что функция имеет предел в бесконечности:

Число $A\in \R$ называется пределом функции $f$ при $x\to \infty$ (предел в бесконечности), если

$\forall \varepsilon &gt; 0\; \exists T &gt; 0\; \forall x: (|x|&gt;T) \Rightarrow (|f(x)-A| &lt; \varepsilon).$

Окрестностное определение

Расширенная числовая прямая $\bar{\R} \equiv \R \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$ становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности бесконечных точек следующим образом:

Окрестностью точки $+\infty$ является любой интервал

$(T,+\infty] \equiv (T,+\infty) \cup \{+\infty\};$
Окрестностью точки $-\infty$ является любой интервал

$[-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).$

Пределы функции на бесконечностях тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

Число $A$ называется пределом функции $f$ при $x$ , стремящемся к плюс бесконечности, если для любой окрестности $V (A)$ существует окрестность $U(+\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

Число $A$ называется пределом функции $f$ при $x$ , стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности $V (A)$ существует окрестность $U(-\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

Если отождествить точки $+\infty$ и $-\infty$ , то окрестности бесконечности будут иметь вид, например, $(T,+\infty) \cup \{\infty\} \cup (-\infty,-T);$
Число $A$ называется пределом функции $f$ при $x$ , стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности $V (A)$ существует окрестность $U(\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

См. также

Ссылки

Литература

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное

Смотреть что такое "Пределы функции на бесконечности" в других словарях:

Предел функции — x 1 0.841471 0.1 0.998334 0.01 0.999983 Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1. Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к … Википедия
Аналитические функции — функции, которые могут быть представлены степенными рядами (См. Степенной ряд). Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в… … Большая советская энциклопедия
Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела. Содержание 1 Определение фильтра 2 Определение предела … Википедия
Список пределов — Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В ниже перечисленных примерах a и b являются константами относительно x. Содержание 1 Общие свойства пределов … Википедия
КОГЕН — (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… … История Философии: Энциклопедия
ФУКО — 1. ФУКО (Foucault) Мишель (Поль Мишель) (1926 1984) французский философ, теоретик культуры и историк. Окончил Высшую нормальную школу. Лиценциат по философии (1948) и по психологии (1949) в Сорбонне. Диплом по психопатологии Парижского института… … История Философии: Энциклопедия
ИОАНН ДУНС СКОТ — [лат. Ioannes (Johannes) Duns Scotus] († 8.11.1308, Кёльн), средневек. философ и богослов, католич. священник, член монашеского ордена францисканцев; в католич. Церкви прославлен в лике блаженных (пам. зап. 8 нояб.). Жизнь. Иоанн Дунс Скот. 1473… … Православная энциклопедия
Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Квадратурные формулы — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Пределы функции на бесконечности

Содержание

Определения

Обозначения

Свойства пределов числовых функций

Вариации и обобщения

Пределы на бесконечности

См. также

Ссылки

Литература

Полезное

Смотреть что такое "Пределы функции на бесконечности" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Пределы функции на бесконечности

Содержание

Определения

Обозначения

Свойства пределов числовых функций

Вариации и обобщения

Пределы на бесконечности

См. также

Ссылки

Литература

Полезное

Смотреть что такое "Пределы функции на бесконечности" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: