Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова

В теории динамических систем под теоремами Крылова — Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в [3]).

Содержание

Формулировка теоремы

Инвариантные меры для отображений

Теорема Крылова — Боголюбова для динамических систем утверждает, что

Пусть F — непрерывное отображение метрического компакта X в себя. Тогда на X существует F-инвариантная мера μ.

Стоит отметить, что условие F-инвариантности, F * μ = μ, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

\forall A\in \mathcal{B}(X) \quad \mu(F^{-1}(A))=\mu(A);

при этом в случае необратимого отображения F мера F(A) не обязана равняться мере A. Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности x\mapsto 2x \mod 1, однако мера дуги [0,1 / 3] не равна мере её образа, дуги [0,2 / 3].

Инвариантные меры для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, т. е.

\Pr [ X_{t} \in A | X_{0} = x ] = P_{t} (x, A).
  • Теорема Крылова — Боголюбова утверждает, что если существует x\in X, для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), т. е. такая вероятностная мера μ на X, что
(P_{t})_{\ast} (\mu) = \mu, \quad\forall t > 0.

Доказательство для динамических систем

Доказательство теоремы опирается на процедуру Крылова-Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера μ0, и рассматривается последовательность её временных средних:

\bar{\mu}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F_*^j(\mu_0).

Временные средние являются всё более и более F-инвариантными:

F_* \bar{\mu}_n = \bar{\mu}_n + \frac{1}{n}(F_*^n(\mu_0)-\mu_0).

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения F. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте X компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности \bar{\mu}_n найдётся — что и завершает доказательство.

В случае, если в качестве меры μ0 берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности \bar{\mu}_n соответствует существованию меры Синая-Рюэлля-Боуэна.

Обобщения

Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки

  1. ↑ Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
  2. ↑ N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). «La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire» (in French). Ann. Math. II 38: 65—113. Zbl. 16.86.
  3. ↑ «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Крылова — Боголюбова" в других словарях:

  • Теорема Крылова — В теории динамических систем под теоремами Крылова  Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком… …   Википедия

  • Теорема Боголюбова (значения) — Теорема Боголюбова «об острие клина» Теорема Боголюбова Парасюка Теорема Крылова Боголюбова …   Википедия

  • КРЫЛОВА - БОГОЛЮБОВА МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ — метод, применяемый в теории нелинейных колебаний для исследования колебательных процессов, основанный на принципе усреднения (осреднения), заменяющем точное дифференциальное уравнение движения усредненным. Различные схемы усреднения (Гаусса, Фату …   Математическая энциклопедия

  • Боголюбов, Николай Николаевич — Николай Николаевич Боголюбов Дважды Герой Социалистического Труда Н. Н. Боголюбов Дата рождения: 8 (21) августа …   Википедия

  • Боголюбов Н. Н. — Николай Николаевич Боголюбов Дата рождения: 21 августа 1909 Место рождения: Нижний Новгород Дата смерти: 13 февраля 1992 Место смерти: Москва Гражданство …   Википедия

  • Боголюбов Николай Николаевич — Николай Николаевич Боголюбов Дата рождения: 21 августа 1909 Место рождения: Нижний Новгород Дата смерти: 13 февраля 1992 Место смерти: Москва Гражданство …   Википедия

  • Николай Николаевич Боголюбов — Дата рождения: 21 августа 1909 Место рождения: Нижний Новгород Дата смерти: 13 февраля 1992 Место смерти: Москва Гражданство …   Википедия

  • Крылов, Николай Митрофанович — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Крылов. Николай Митрофанович Крылов Дата рождения: 17 (29) ноября 1879(1879 11 29) Место рождения: Петербург Дата смерти …   Википедия

  • Крылов Николай Митрофанович — Николай Митрофанович Крылов Дата рождения: 16 (29) ноября 1879 Место рождения: Петербург Дата смерти: 11 мая 1955 Место смерти: Москва Гражданство: Россия Научная сфера: математика Альма матер …   Википедия

  • Николай Митрофанович Крылов — Дата рождения: 16 (29) ноября 1879 Место рождения: Петербург Дата смерти: 11 мая 1955 Место смерти: Москва Гражданство: Россия Научная сфера: математика Альма матер …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»