Параболические координаты

Параболические координаты

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Содержание

Двумерные параболические координаты

Parabolic coords.svg

Двумерные параболические координаты (\sigma,\;\tau) определяются выражениями

\left \{ \begin{matrix} x=\sigma\tau \\ y=\frac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2) \end{matrix} \right.

Поверхности постоянной \sigma являются конфокальными параболами

2y=\frac{x^2}{\sigma^2}-\sigma^2

расширяющимися вверх (вдоль луча +y), а поверхности постоянной \tau — это конфокальные параболы

2y=-\frac{x^2}{\tau^2}+\tau^2

расширяющиеся вниз (вдоль луча -y). Фокусы всех парабол расположены в начале коорднат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

H_\sigma=H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2}.

Таким образом, элемент площади равен

dS=(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau,

а лапласиан равен

\Delta\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\tau^2}\right).

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует \scriptstyle{\tau=2}, синий параболоид соответствует \scriptstyle{\sigma=1}, а жёлтая полуплоскость соответствует \scriptstyle{\varphi=-60^\circ}. Три поверхности пересекаются в точке \scriptstyle{P} (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно \scriptstyle{(1{,}0,\;-1{,}732,\;1{,}5)}.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость XY вдоль оси z и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

\begin{cases} x=\sigma\tau\cos\varphi, \\ y=\sigma\tau\sin\varphi, \\ z=\dfrac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2). \end{cases}

Ось параболоидов совпадает с осью z, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол \varphi определяется как

\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{y}{x}.

Поверхности постоянной \sigma являются конфокальными параболоидами

2z=\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}-\sigma^2

направленными вверх (вдоль луча +z), а поверхности постоянной \tau — это конфокальные параболоиды

2z=-\frac{x^2+y^2}{\tau^2}+\tau^2

направленные вниз (вдоль луча -z). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

H_\sigma=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\varphi=\sigma\tau.

Как видно, коэффициенты H_\sigma и H_\tau совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

dV=h_\sigma h_\tau h_\varphi=\sigma\tau(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau\,d\varphi,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left[\frac{1}{\sigma}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sigma\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma} \right)+\frac{1}{\tau}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\tau\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}\right)\right]+\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат (x,\;y,\;z) к параболическим (\eta,\;\xi,\;\varphi) осуществляется по формулам:

\begin{cases} \eta=-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \xi=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\dfrac{y}{x}, \end{cases}

при этом \eta\geqslant 0,\quad\xi\geqslant 0.

\begin{vmatrix}d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & -1+\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & 1 +\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2} & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}.

При \varphi=0 получаем ограничение координат на плоскость XZ:

\eta=-z+\sqrt{x^2+z^2},
\xi=z+\sqrt{x^2+z^2}.

Линия уровня \eta=c:

z|_{\eta=c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}.

Это парабола, фокус которой при любом c расположен в начале координат.

Аналогично при \xi=c получаем

z|_{\xi=c}=\frac{c}{2}-\frac{x^2}{2c}.

Координатные параболы пересекаются в точке

P:\left(\sqrt{bc},\;\frac{b-c}{2}\right).

Пара парабол пересекается в двух точках, но при \varphi=0 точка оказывается заключена в полуплоскости x>0, так как x<0 соответствует \varphi=\pi.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке P:

\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{bc}}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c,
\frac{dz_b}{dx}=-\frac{x}{b}=\frac{-\sqrt{bc}}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b;
s_c s_b=-\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{b}}=-1.

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара (\xi;\;\eta) определяет координаты в полуплоскости. При изменении \varphi от 0 до 2\pi полуплоскость вращается вокруг оси z, в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина \varphi определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

\begin{cases} x=\sqrt{\xi\eta}\cos\varphi, \\ y=\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi, \\ z=\dfrac{1}{2}(\xi-\eta). \end{cases}
\begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\cos\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\cos\varphi & -\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\sin\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\sin\varphi & \sqrt{\xi\eta}\cos\varphi \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Параболические координаты" в других словарях:

  • параболические координаты — parabolinės koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. parabolic coordinates vok. parabolische Koordinaten, f rus. параболические координаты, f pranc. coordonnées paraboliques, f …   Fizikos terminų žodynas

  • ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — числа ии v, связанные с прямоугольными координатами хи у формулами x = u2 vz, y = 2uv, где . Координатные линии: две системы взаимно ортогональных парабол с противоположно направленными осями. Коэффициенты Ламе: Элемент площади: Векторные… …   Математическая энциклопедия

  • Цилиндрические параболические координаты — Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболи …   Википедия

  • Координаты — Координаты  величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат. В Викисловаре есть статья «координата» Понятие и слово… …   Википедия

  • КООРДИНАТЫ — числа, величины, по к рым находится (определяется) положение какого либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются …   Математическая энциклопедия

  • Параболоидальные координаты — Параболические координаты ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.… …   Википедия

  • Барицентрические координаты — У этого термина существуют и другие значения, см. Координаты. Барицентрические координаты  координаты точки мерного аффинного пространства , отнесенные к некоторой фиксированной системе из ой точки , не лежащих в мерном подпространстве.… …   Википедия

  • Биангулярные координаты — Биангулярные координаты  система координат на плоскости с двумя фиксированными точками …   Википедия

  • Биполярные координаты — Биполярная система координат …   Википедия

  • Бицентрические координаты — Бицентрические координаты  система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов). Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»