Эллиптические координаты

Эллиптические координаты
Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса F_1 и F_2 обычно берутся точки -a и +a на оси X декартовой системы координат.

Содержание

Основное определение

Эллиптические координаты (\mu,\;\nu) обычно определяются по правилу:

\left \{ \begin{matrix} x=a\,\mathrm{ch}\,\mu\cos\nu \\ y=a\,\mathrm{sh}\,\mu\sin\nu \end{matrix} \right.

где \mu\geqslant 0, \nu\in[0,\;2\pi).

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

\frac{x^2}{a^2\,\mathrm{ch}^2\,\mu}+\frac{y^2}{a^2\,\mathrm{sh}^2\,\mu}=\cos^2\nu+\sin^2\nu=1

показывает, что линии уровня \mu являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

\frac{x^2}{a^2\cos^2\nu}-\frac{y^2}{a^2\sin^2\nu}=\mathrm{ch}^2\,\mu-\mathrm{sh}^2\,\mu=1

показывает, что линии уровня \nu являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат (\mu,\;\nu) равны

H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu}.

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu-\cos 2\nu}).

Элемент площади равен:

dS=a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат (\sigma,\;\tau):

\left \{ \begin{matrix} \sigma=\mathrm{ch}\,\mu \\ \tau=\cos\nu \end{matrix} \right.

Таким образом, линии уровня \sigma являются эллипсами, а линии уровня \tau являются гиперболами. При этом

\tau\in[-1,\;1],\quad\sigma\geqslant 1.

Координаты (\sigma,\;\tau) имеют простую связь с расстояниями до фокусов F_1 и F_2. Для любой точки на плоскости

\left \{ \begin{matrix} d_1+d_2=2a\sigma \\ d_1-d_2=2a\tau \end{matrix} \right.

где d_1,\;d_2 — расстояния до фокусов F_1,\;F_2 соответственно.

Таким образом:

\left \{ \begin{matrix} d_1=a(\sigma+\tau) \\ d_2=a(\sigma-\tau) \end{matrix} \right.

Напомним, что F_1 и F_2 находятся в точках x=-a и x=+a соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

\left \{ \begin{matrix} x=a\sigma\tau \\ y^2=a^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2) \end{matrix} \right.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат (\sigma,\;\tau) равны:

h_\sigma=a\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sigma^2-1}};
h_\tau=a\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{1-\tau^2}}.

Элемент площади равен

dA=a^2\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sqrt{(\sigma^2-1)(1-\tau^2)}}\,d\sigma\,d\tau,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\sigma^2-\tau^2)}\left[\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma}\right)+\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial\Phi}{\partial \tau}\right)\right].

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.


Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Эллиптические координаты" в других словарях:

  • эллиптические координаты — elipsinės koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elliptic coordinates; elliptical coordinates vok. elliptische Koordinaten, f rus. эллиптические координаты, f pranc. coordonnées elliptiques, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Эллиптические координаты —         координаты, связанные с семейством софокусных эллипсов и гипербол (см. Софокусные кривые). Э. к. точки М и её декартовы координаты х, у связаны соотношениями х = с chu cos v, у = с shu sin v …   Большая советская энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — числа и связанные с декартовыми прямоугольными координатами формулами где Координатные линии (см. рис.): софокусные эллипсы и гиперболы =const) с фокусами и Система Э. к. ортогональная. Каждой паре чисел и соо …   Математическая энциклопедия

  • Координаты — Координаты  величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат. В Викисловаре есть статья «координата» Понятие и слово… …   Википедия

  • Координаты (математ.) — Координаты [от лат. co (cum) ≈ совместно и ordinatus ≈ упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К.… …   Большая советская энциклопедия

  • Координаты — I Координаты         [от лат. co (cum) совместно и ordinatus упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое… …   Большая советская энциклопедия

  • КООРДИНАТЫ — числа, величины, по к рым находится (определяется) положение какого либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются …   Математическая энциклопедия

  • Эллиптические интегралы и функции — Э. интегралами называются все квадратуры вида: ∫ f(x,√ X)dx, где Х есть какой либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть какая либо рациональная функция от х и √X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ — эллиптические координаты в пространстве, числа и v, связанные с декартовыми прямоугольными координатами х, уи z формулами где Координатные поверхности (см. рис.): эллипсоиды =const), однополостные гиперболоиды =const) и двуполостные гиперболоиды… …   Математическая энциклопедия

  • Цилиндрические параболические координаты — Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболи …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»