Цилиндрические параболические координаты

Цилиндрические параболические координаты
Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра.

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) (u,\;v,\;z) — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты \ z, то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация соответствующая

\begin{cases} x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\ y=cuv, \\ z=z, \end{cases}

где c>0 — размерный множитель.

Поверхности уровня u=\mathrm{const} и v=\mathrm{const} суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси z.

Содержание

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат (x,\;y,\;z)

\begin{cases} x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\ y=cuv, \\ z=z, \end{cases}

Цилиндрическая система координат (\rho,\;\varphi,\;z)

\begin{cases} \rho=\dfrac{c}{2}(u^2+v^2), \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{2uv}{u^2-v^2}\right), \\ z=z. \end{cases}

Коэффициенты Ламе

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

\begin{cases} H_u=c\sqrt{u^2+v^2}, \\ H_v=c\sqrt{u^2+v^2}, \\ H_z=1. \end{cases}

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

\mathrm{grad}\,F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left(\frac{\partial F}{\partial u}\vec{e}_u+\frac{\partial F}{\partial v}\vec{e}_v \right)+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{e}_z.

Дивергенция

\mathrm{div}\vec A(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_u\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_v\right)\right]+\frac{\partial A_z}{\partial z}.

Ротор

\mathrm{rot}\,\vec A=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial v}A_z-\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)\right]\vec e_u+\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)-\frac{\partial}{\partial u}A_z\right]\vec e_v+
+\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial}{\partial u}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)-\frac{\partial}{\partial v}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)\right]\vec e_z.

Лапласиан

\Delta F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\right]+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}.

См. также

Ссылки


Wiki letter w.svg
 Для улучшения этой статьи желательно?:
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Цилиндрические параболические координаты" в других словарях:

  • Параболические координаты — Параболические координаты  ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.… …   Википедия

  • Координаты — Координаты  величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат. В Викисловаре есть статья «координата» Понятие и слово… …   Википедия

  • Параболоидальные координаты — Параболические координаты ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.… …   Википедия

  • Барицентрические координаты — У этого термина существуют и другие значения, см. Координаты. Барицентрические координаты  координаты точки мерного аффинного пространства , отнесенные к некоторой фиксированной системе из ой точки , не лежащих в мерном подпространстве.… …   Википедия

  • Биангулярные координаты — Биангулярные координаты  система координат на плоскости с двумя фиксированными точками …   Википедия

  • Биполярные координаты — Биполярная система координат …   Википедия

  • Бицентрические координаты — Бицентрические координаты  система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов). Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами.… …   Википедия

  • Трилинейные координаты — тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если   барицентрические координаты точки относительно треугольника , то её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до… …   Википедия

  • Проективные координаты — Проективные координаты  взаимно однозначное соответствие между элементами мерного проективного пространства над телом и классами эквивалентности упорядоченных конечных подмножеств элементов тела . Пусть в совокупности строк не равных… …   Википедия

  • Эллиптические координаты — Эллиптическая система координат Эллиптические координаты  двумерная ортогональная система координат …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»