Задача Штурма

Задача Штурма

Задача Шту́рма — Лиуви́лля состоит в отыскании нетривиальных (т.е. отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (a,\;b) однородного уравнения

\!L[y]+\lambda\rho(x)y(x)=0,

удовлетворяющих однородным граничным условиям

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) - \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}

и значений параметра \!\lambda, при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор \!L[y] здесь — это действующий на функцию \!y(x) линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)

(оператор Штурма — Лиувилля), x — вещественный аргумент.

Функции p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x) предполагаются непрерывными на (a,\;b), кроме того функции p(x),\;\rho(x) положительны на (a,\;b).

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения \!\lambda, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства

Данная задача обладает рядом свойств:

  • Существует бесконечное счетное множество \{\lambda_n\} собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность \{y_n(x)\} собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant\ldots
  • Все собственные значения задачи действительные.
  • Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
  • Рассмотрение комплекснозначных собственных функций не обогащает систему всех собственных функций, но добавляет в неё линейно зависимые элементы.
  • В случае граничных условий y(a)=y(b)=0 и при выполнении условия q(x)\geqslant 0 все собственные значения краевой задачи положительны \lambda_n>0.
  • Собственные функции y_n(x) образуют на [a,\;b] ортогональную с весом \rho(x) систему \{y_n(x)\}:
\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Литература

  • А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Султанаев Я.Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Задача Штурма" в других словарях:

  • Задача Штурма — Лиувилля — Задача Штурма  Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке однородного уравнения удовлетворяющих однородным граничным условиям и значений параметра …   Википедия

  • Задача Штурма-Лиувилля — Задача Штурма  Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке однородного уравнения L[y] + λρ(x)y(x) = 0, удовлетворяющих однородным граничным условиям и значений параметра λ, при которых такие удовлетворяющие указанным… …   Википедия

  • ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — задача, в к рой требуется восстановить функцию (потенциал) q(x)по тем или иным спектральным характеристикам оператора А, порождённого дифференциальным выражением l[у] = y +q(x)yи нек рыми граничными условиями в гильбертовом пространстве L2(a, b) …   Математическая энциклопедия

  • ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порождённая на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной c ур нием и нек рыми граничными условиями, где положительны, действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch …   Физическая энциклопедия

  • Штурма-Лиувилля задача — Штурма ‒ Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения [p (x) y ] + q (x) y = ly, (1) удовлетворяющих граничным условиям вида A1y (a) + B1y (a) = 0, А2у (b) + B2y (b) = 0 (т. н. соб …   Большая советская энциклопедия

  • ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порожденная на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной хуравнением и нек рыми граничными условиями, где р(х) и r(х) положительны, l(х)действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи… …   Математическая энциклопедия

  • Штурма - Лиувилля задача —         задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения          [p (x) y ] + q (x) y = λy, (1)          удовлетворяющих граничным условиям вида          A1y (a) + B1y (a) = 0, А2у (b) + B2y (b) = 0          (т. н.… …   Большая советская энциклопедия

  • Задача двух генералов — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • Краевая задача — Краевая задача  дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования. Решение краевой задачи ищется в виде линейной… …   Википедия

  • Точнорешаемая задача — В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»