Задача Штурма — Лиувилля

Задача Штурма — Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке $(a,\;b)$ однородного уравнения

$\!L[y]+\lambda\rho(x)y(x)=0,$

удовлетворяющих однородным граничным условиям

$\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}$

и значений параметра $\!\lambda$ , при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор $\!L[y]$ здесь — это действующий на функцию $\!y(x)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля). $x$ — вещественный аргумент.

Функции $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x)$ предполагаются непрерывными на $(a,\;b)$ , кроме того функции $p(x),\;\rho(x)$ положительны на $(a,\;b)$ .

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения $\!\lambda$ , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства

Данная задача обладает рядом свойств:

Существует бесконечное счетное множество ${λ n}$ собственных значений и соответствующая им бесконечная последовательность ${y n (x)}$ собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины $|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant\ldots$
Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
В случае граничных условий $y (a) = y (b) = 0$ и при выполнении условия $q(x)\geqslant 0$ все собственные значения краевой задачи положительны $λ n > 0$ .
Собственные функции $y n (x)$ образуют на $[a,\;b]$ ортогональную с весом $ρ(x)$ систему ${y n (x)}$ :

$\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.$

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Задача Штурма — Лиувилля" в других словарях:

Задача Штурма-Лиувилля — Задача Штурма Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке однородного уравнения L[y] + λρ(x)y(x) = 0, удовлетворяющих однородным граничным условиям и значений параметра λ, при которых такие удовлетворяющие указанным… … Википедия
Задача Штурма — Задача Штурма Лиувилля состоит в отыскании нетривиальных (т.е. отличных от тождественного нуля) решений на промежутке однородного уравнения удовлетворяющих однородным граничным условиям и значений параметра … Википедия
ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — задача, в к рой требуется восстановить функцию (потенциал) q(x)по тем или иным спектральным характеристикам оператора А, порождённого дифференциальным выражением l[у] = y +q(x)yи нек рыми граничными условиями в гильбертовом пространстве L2(a, b) … Математическая энциклопедия
ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порождённая на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной c ур нием и нек рыми граничными условиями, где положительны, действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch … Физическая энциклопедия
Штурма-Лиувилля задача — Штурма ‒ Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения [p (x) y ] + q (x) y = ly, (1) удовлетворяющих граничным условиям вида A1y (a) + B1y (a) = 0, А2у (b) + B2y (b) = 0 (т. н. соб … Большая советская энциклопедия
ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порожденная на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной хуравнением и нек рыми граничными условиями, где р(х) и r(х) положительны, l(х)действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи… … Математическая энциклопедия
Штурма - Лиувилля задача — задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения [p (x) y ] + q (x) y = λy, (1) удовлетворяющих граничным условиям вида A1y (a) + B1y (a) = 0, А2у (b) + B2y (b) = 0 (т. н.… … Большая советская энциклопедия
Краевая задача — Краевая задача дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования. Решение краевой задачи ищется в виде линейной… … Википедия
Ахтямов, Азамат Мухтарович — Азамат Мухтарович Ахтямов Дата рождения: 31 марта 1962(1962 03 31) (50 лет) Место рождения: г. Уфа, Башкирская АССР, РСФСР, СССР Страна … Википедия
Султанаев, Яудат Талгатович — Яудат Талгатович Султанаев Дата рождения: 19 июля 1948(1948 07 19) (64 года) Научная сфера: математика Награды и премии … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Задача Штурма — Лиувилля